Prove que em uma sequência de subconjuntos encadeados, a interseção é finita e não vazia

Dec 24 2020

O título é apenas uma versão simplificada. Atualmente, estou lendo Análise de compreensão e trabalhando nas preliminares. A questão é:

E se $A_1 \supseteq A_2 \supseteq A_3 \supseteq A_4\cdots$ são todos conjuntos finitos e não vazios de números reais, então a interseção $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$ é finito e não vazio.

O livro, neste ponto, não definiu formalmente o finito. Além disso, a única dica, em minha opinião, oferecida pelo livro é a seguinte pergunta,

E se $A_1 \supseteq A_2 \supseteq A_3 \supseteq A_4\cdots$ são todos conjuntos contendo um número infinito de elementos, então a interseção $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$ é infinito também.

Com esta questão e um exemplo mencionado, posso resolver este problema definindo o conjunto $A_i = \{i,i+1,i+2\dots\}\subseteq N$ e uma prova por contradição.

No entanto, quando se trata de $A_i$ contendo elementos finitos, só não sei agora como

  1. Prove por definição
  2. Entenda a intuição por trás não consigo encontrar um exemplo contrário como a versão infinita

Respostas

1 BrianM.Scott Dec 25 2020 at 02:31

Uma maneira é notar que uma sequência decrescente de inteiros positivos, neste caso as cardinalidades dos conjuntos $A_k$, eventualmente deve ser constante. Para$k\in\Bbb Z^+$ deixei $n_k=|A_k|$, o número de elementos em $A_k$; $n_k$é um número inteiro positivo. Deixei$N=\{n_k:k\in\Bbb Z^+\}$; $N$ é um conjunto não vazio de inteiros positivos, então tem um menor elemento $m$. Deixei$\ell\in\Bbb Z^+$ seja tal que $n_\ell=m$.

$A_{\ell+1}\subseteq A_\ell$, assim $n_{\ell+1}\le n_\ell=m$. Mas$m=\min N$, assim $n_{\ell+1}\ge m$, e portanto $n_{\ell+1}=m$. Portanto,$A_{\ell+1}\subseteq A_\ell$ e $|A_{\ell+1}|=|A_\ell|$ , assim $A_{\ell+1}=A_\ell$. Você pode usar essa ideia para provar por indução que$A_k=A_\ell$ para cada $k\ge\ell$. Então você está quase pronto.$A_k\supseteq A_\ell$ para $k=1,\ldots,\ell$e $A_k=A_\ell$ para $k>\ell$, assim

$$\bigcap_{k\ge 1}A_k=\bigcap_{k=1}^\ell A_k\cap\bigcap_{k>\ell}A_k=A_\ell\cap A_\ell=A_\ell\,.$$