Prove que o número de números primos é infinito.

Question

Prove que o número de números primos é infinito

Eu quero resolver isso com este teorema:

Para n, um inteiro positivo e inteiros i, j com 1≤i <j≤n, sabemos que mdc ($n!$ $\times$ $i+1$ , $n!$$\ vezes $ $ j + 1 $ ) $ = 1 $ .

.

O teorema foi provado. Mas não sei como usar esse teorema para provar minha pergunta.

Answer 1

$\gcd(n!+1, n!\times 2 + 1)=1$ mas nenhum $n!+1$ nem $n!\times 2 + 1$ é divisível por qualquer primo menor ou igual a $n$.

então deve haver sempre dois primos maiores do que qualquer $n$- aquele que divide $n!+1$ e outro para dividir $n!\times 2 + 1$.

E como $n$ é ilimitado, então os primos são maiores que $n$.

.....

Mas você realmente não precisava do teorema estranho.

É o suficiente para apontar que $n!+1$ não é divisível por nenhum primo menor ou igual a $n$

......

Mas mesmo isso é um exagero. A maneira clássica, como Euclides fez, é que se você tiver qualquer lista finita de primos,$A$, então $1+\prod_{p\in A}p $ não é divisível por nenhum primo na lista, portanto, deve haver primos que não estejam na lista; portanto, nenhuma lista finita está completa.

Às vezes, os clássicos são os melhores.

Answer 2

Vamos usar uma prova por contradição. Vamos supor$P$ é finito, vamos $n=\max(P)$, você pode ver isso $n!+1$é principal. Na verdade, você pode ver que cada número primo não pode dividir$n!+1$ (porque eles dividem $n!$, se alguém iria dividir $n!+1$, iria dividir $n!+1-n!=1$.

então $n!+1$ é primo e $n!+1>n $, então aqui você tem sua contradição