Prove que se a soma de $\vec{a}$ e $\vec{b}$ e a diferença de vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ são perpendiculares

Question

Aqui está o problema completo:

Prove que se a soma de $\vec{a}$ e $\vec{b}$ e a diferença de vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ são perpendiculares, então a magnitude de $\vec{a}$ e $\vec{b}$ deve ser equivalente.

Ok, então tentei percorrer o ramo da fórmula para a soma dos vetores perpendiculares $\ \vec{a}+\vec{b}=\sqrt{|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2}$$mas eu não acho que isso funcione. Eu gostaria de ver uma abordagem sem usar o produto de ponto de 2 vetores perpendiculares sendo 0.

Answer 1

Você tem, para o produto escalar $\langle .,. \rangle$, $$\langle a+b, a-b \rangle = 0$$

então $$\langle a, a\rangle -\langle a, b\rangle +\langle b, a\rangle -\langle b, b\rangle =0$$

e porque $\langle a, b\rangle =\langle b ,a \rangle $, você deduz que $$\langle a,a \rangle =\langle b , b\rangle $$

Edit : Se você quiser outra maneira de provar isso, aplique o teorema de Pitágoras a$a+b$ e $a-b$, que são perpendiculares. Você entendeu$$|a+b+a-b|^2 = |a+b|^2+|a-b|^2$$

então

$$4|a|^2 = |a|^2+|b|^2+2 \langle a,b \rangle + |a|^2+|b|^2-2 \langle a,b \rangle$$

então $$|a|^2 = |b|^2$$

Answer 2

Você pode usar geometria. Vetores$\vec a$ e $\vec b$ formar um paralelograma (como a Figura) e $\vec a+ \vec b$ e $\vec a- \vec b$ são as diagonais.

Sabemos que essas diagonais se cortam no meio. então$BI=DI$. E se$CI$ é perpendicular a $BD$ então os triângulos $BIC$ e $CID$ são congruentes e então $BC=CD$.

Answer 3

O produto escalar dos vetores soma e diferença desaparece devido a serem mutuamente perpendiculares.

$$(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a-\vec b)=0$$ Multiplique termo por termo $$(\vec a\cdot\vec a)-(\vec b \cdot \vec b)-(\vec a\cdot\vec b)+(\vec a \cdot\vec b)=0$$ $$ |a|^2-|b|^2 =0$$ $$ |a|=|b|$$

EDIT1

Ok, então geometricamente com trig:

Inclinações de soma, diferença de vetores em um paralelogramo

$$\tan \theta_1=\dfrac{b \sin \theta}{a+ b \cos \theta} $$ $$\tan \theta_2=\dfrac{b \sin \theta}{a- b \cos \theta} $$

Produto da LHS tans é $-1$

$$\dfrac{b^2 \sin^2 \theta}{a^2- b^2 \cos^2 \theta}=-1$$

Cruze, multiplique, transponha para simplificar o descarte $a+b=0$ obtenção de solução $$a=b.$$