Prove uma inequação integral

Question

Prove que se uma função está descendo em [0; 1], então$\forall\theta\in(0;1)\quad \theta\int\limits_0^1f(x)dx \leq \int\limits_0^\theta f(x)dx$.

Se um ver $\leq$, então há uma ideia de usar limites. Eu tentei jogar com somas integrais, mas tudo que eu tenho é que$\int\limits_0^\theta f(x)dx \gt f(\theta)\theta$ (mas é óbvio sem somas integrais).

Answer 1

Dica Let$g(y):= \int_0^y f(x) dx$. Então$g(y)$ é côncavo para baixo.

Aplicar a desigualdade de Jensen com $x_1=0, x_2=1$ e $t=\theta$.

Adicionado Let$0 < \theta <1$.

Então $$ g(\theta)-g(0)=\int_{0}^\theta f(x)dx \geq \theta f(\theta) \\ g(1)-g(\theta)=\int_\theta^1f(x)dx \leq (1-\theta)f(\theta) $$ Multiplicando a primeira ineqaulidade por $(1-\theta)$ e o segundo por $\theta$ dá a sua desigualdade.

Se você substituir $0,1$ de $x_0,x_1$ e $\theta$ de $t$ você obtém a desigualdade de Jensen para $g$ sob a suposição de que $f$ está diminuindo.

Answer 2

Sem assumir que $f$ é diferenciável, podemos mostrar que $F:[0,1] \to \mathbb{R}$ Onde $F(\theta) =\int_0^\theta f(x) \, dx$ é côncavo.

Assumindo que $f$ é limitado, temos isso $F$é contínuo. Desde a$f$ não é crescente, temos para $\theta_1 < \theta_2$

$$F(\theta_2) - F\left(\frac{\theta_1 + \theta_2}{2}\right) \leqslant F\left(\frac{\theta_1 + \theta_2}{2}\right) - F(\theta_1)$$

Conseqüentemente,

$$F\left(\frac{\theta_1 + \theta_2}{2}\right) \geqslant \frac{1}{2} ( F(\theta_1) + F(\theta_2))$$

Desde a $F$ é contínuo e côncavo do ponto médio deve ser côncavo e para todos $\theta \in (0,1)$,

$$\frac{F(\theta)}{\theta} =\frac{F(\theta)-F(0)}{\theta-0}\geqslant \frac{F(1)-F(0)}{1-0} = F(1)$$

Portanto,

$$\frac{1}{\theta}\int_0^\theta f(x) \, dx \geqslant \int_0^1 f(x) \, dx$$