Quadrics e um teorema de Springer

Question

Deixar $F$ ser um campo completo com valor discreto e anel de avaliação $R$, uniformizador $\pi$, e característica de resíduo $\neq 2$. Um teorema de Springer diz que uma forma quadrática$q=q_1 \bot \pi q_2$, Onde $q_1,q_2$ tem coeficientes em $R^\times$, é isotrópico sobre $F$ se e somente se pelo menos uma das imagens de $q_1,q_2$ é isotrópico sobre o campo de resíduo $R/\pi$.

Estou interessado em saber se:

1. um resultado semelhante é válido para outras variedades além das quádricas (isso é um pouco vago, mas qualquer coisa que venha à mente pode ser útil),

2. pode algo remotamente semelhante ser dito para formas quadráticas no caso diádico (ou seja, quando char $R/\pi=2$)?

(Observação: eu fiz a pergunta sobre o fluxo de matemática pela primeira vez, mas não obtive uma resposta. Essa postagem foi excluída.)

Answer 1

Para Q2, a resposta é sim. Veja a seção 19 de "a teoria algébrica e geométrica das formas quadráticas", Elman, Karpenko, Merkurjev, AMS Coll. Pub.56,2008.

Para o primeiro trimestre: você pode generalizar o fato de que se $q_1,q_2$ são módulo anistrópico $\pi$, então $q$ é anisotrópico a formas homogêneas de grau $d$.

O que vai faltar é: se uma forma homogênea $f$ (com a noção apropriada de não degeneração, o que não é claro para mim) de grau $d\geq 2$ não tem zeros não triviais, então não tem módulo de zeros não triviais $\pi$.

Não sei se é razoavelmente verdadeiro (suspeito que não).