Qual é a área do Triângulo de Verão?
Tenho certeza de que a trigonometria esférica é usada aqui, mas não sei como calcular a área. Tenho certeza de que as figuras de declinação e ascensão reta de Vega, Deneb e Altair precisam ser convertidas em coordenadas, mas, novamente, não tenho ideia de como.
Existe uma fórmula para um caso geral como este? Não necessariamente apenas o Triângulo de Verão, mas uma fórmula para a área delimitada por quaisquer 3 (ou mais) estrelas na esfera celestial?
Respostas
A área de um triângulo delimitado por 3 estrelas na esfera celeste, em graus quadrados, é dada por:
$$ A = \frac{180}{\pi}\times E$$
Onde E é o excesso esférico e é igual à soma de todos os ângulos do triângulo menos 180 °. O problema é que não sabemos os ângulos do Triângulo de Verão e, em vez disso, temos que usar uma equação alternativa para o excesso esférico dado por:
$$ E = 4\tan^{-1}\left({\sqrt{\tan\left(\frac{s}{2}\right)\times\tan\left(\frac{s-a}{2}\right)\times\tan\left(\frac{s-b}{2}\right)\times\tan\left(\frac{s-c}{2}\right)}} \right) $$
Onde a, b e c são as distâncias angulares entre 2 estrelas e, portanto, os lados do Triângulo de Verão em graus, e $s = \frac{a+b+c}{2}$.
Eu recomendo fortemente que você vá para Wolfram Alpha e apenas digite "distância angular entre a estrela 1 e a estrela 2" e obtenha todos os valores para a, b e ce então você pode calcular o excesso esférico e subsequentemente a área.
Mas se você insiste em ter dor de cabeça e descobrir os valores sozinho, verifique a próxima seção. Caso contrário, pule para o final.
A distância angular entre 2 estrelas na esfera celeste é dada por:
$$\cos^{-1} \left ( \sin(\text{D} _{1})\sin(\text{D} _{2})+\cos(\text{D} _{1})\cos(\text{D} _{2}) \cos(\text{R} _{1}-\text{R} _{2})\right ) $$
Onde:
$\text{D}_{1}$ e $\text{D}_{2}$ são os valores de declinação de ambas as estrelas em graus.
$\text{R}_{1}$ e $\text{R}_{2}$ são os valores de ascensão reta para ambas as estrelas, também em graus.
Para converter a declinação de uma estrela de DMS para graus, divida os minutos de arco por 60 e os segundos de arco por 3600. Por exemplo, a declinação de Vega é 38 ° 47 '1,28 ". Convertido apenas em graus, isso se torna:
$$ 38 + \frac{47}{60} + \frac{1.28}{3600} = 38.7836° $$
A mesma fórmula é usada para converter RA em graus, a única diferença é você multiplicar por 15 no final. A ascensão reta de Vega é 18h 36m 56.33s. Convertido apenas em graus, isso se torna:
$$ \left(18 + \frac{36}{60} + \frac{56.33}{3600}\right) \times 15 = 279.2347° $$
Você poderia se poupar de toda essa bagunça obtendo diretamente as distâncias angulares do Wolfram Alpha ou poderia calculá-las você mesmo. Eu recomendo o primeiro.
Depois de inserir todos os números, você obtém o excesso esférico $E = 7.296508$ e a área do Triângulo de Verão:
$$ \bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{A = 418.059 \text{deg}^2} $$
Cobriria 1,0134% da esfera celeste e seria a 40ª maior constelação no céu, maior que Capricórnio, mas menor que Áries.
A Wikipedia tem fórmulas para a área de um triângulo celestial em esteradianos (que eles chamam de "excesso" e escrevem$E$) em termos de ângulos, comprimentos laterais e ângulo lateral. A fórmula do ângulo é a mais simples, mas calcular os ângulos é complicado. Pode ser mais fácil calcular os comprimentos laterais e usar a fórmula lado-lado-lado.
Você pode converter ascensão reta e declinação em um vetor unitário, conforme mostrado aqui . A distância entre os pontos representados por vetores unitários$v$ e $w$ é $cos^{-1}\, v\cdot w$. Conectar as três distâncias na fórmula que a Wikipedia atribui a L'Huilier fornecerá a área.
Para um polígono com mais de 3 vértices você terá que usar a fórmula do ângulo, pois é a única que generaliza. O ângulo entre$u$ e $w$ no $v$ é $cos^{-1}\, \frac{v\times u}{||v\times u||}\cdot\frac{v\times w}{||v\times w||}$, mas pode haver uma maneira mais simples de calculá-lo.