Qual é a diferença entre a variação total e o comprimento do arco?

Question

Deixei $f:[a,b] \rightarrow \mathbb R$ estar $C^1$. É o comprimento de$\{f(x): x \in [a,b] \}$ e a variação total de $f$a mesma coisa ? As definições são extremamente semelhantes entre si:

• A variação total de uma função de valor real (ou mais geralmente de valor complexo) $f$, definido em um intervalo $[a, b] \subset \mathbb{R}$ é a quantidade $$ V_{b}^{a}(f)=\sup _{\mathcal{P}} \sum_{i=0}^{n_{P}-1}\left|f\left(x_{i+1}\right)-f\left(x_{i}\right)\right| $$ onde o supremo percorre o conjunto de todas as partições $\mathcal{P}=\left\{P=\left\{x_{0}, \ldots, x_{n_{P}}\right\} \mid P\right.$ é uma partição de $\left.[a, b]\right\}$ do intervalo determinado.

• Deixei $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ser uma função continuamente diferenciável. O comprimento da curva definido por$f$ pode ser definido como o limite da soma dos comprimentos dos segmentos de linha para uma partição regular de $[a, b]$conforme o número de segmentos se aproxima do infinito. Isso significa$$ L(f)=\lim _{N \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{N}\left|f\left(t_{i}\right)-f\left(t_{i-1}\right)\right| $$ Onde $t_{i}=a+i(b-a) / N=a+i \Delta t$ para $i=0,1, \ldots, N .$ Esta definição é equivalente à definição padrão do comprimento do arco como um integral: $$ \lim _{N \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{N}\left|f\left(t_{i}\right)-f\left(t_{i-1}\right)\right|=\lim _{N \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{N}\left|\frac{f\left(t_{i}\right)-f\left(t_{i-1}\right)}{\Delta t}\right| \Delta t=\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(t)\right| d t $$

Answer 1

Não, essas não são as mesmas coisas.

Primeiro, a variação total é definida para a função definida em um segmento fechado de$\mathbb R$ e $\mathbb R$. Enquanto o comprimento de uma curva é definido por uma curva definida entre um segmento fechado de$\mathbb R$ e $\mathbb R^n$ Onde $n$ pode ser maior que $1$.

A confusão geralmente vem do fato de que uma função real $f$ é geralmente representado por seu gráfico que é o mapa $F: t \mapsto (t,f(t))$ pegou seus valores em $\mathbb R^2$. Esta confusão é reforçada pelas notações onde$\vert \cdot \vert$ é usado para denotar o valor absoluto real e a norma euclidiana de $\mathbb R^n$.

Para $\mathcal C^1$função real a variação total é$$\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(t)\right| d t$$e o comprimento da curva que representa seu gráfico é

$$\int_{a}^{b}\left\Vert F^{\prime}(t)\right\Vert d t = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( f^\prime(x)^2\right)}d t.$$