Qual é a interseção de um único conjunto?

Question

No momento, estou lendo algumas questões de teoria dos conjuntos para uma aula de estatística e me deparei com a seguinte notação que nunca vi antes e não consigo encontrar em nenhum outro lugar online. A equação em questão é:$$ \mathcal{B} = \cap\{\mathcal{E}:\mathcal{D}\subset\mathcal{E} \text{ and } \mathcal{E} \text{ is a } \sigma \text{-field}\} $$Minha pergunta é: o que significa o símbolo de interseção na frente da notação do construtor de conjunto? Como posso pegar a interseção de apenas um conjunto? Eu perguntaria ao meu professor, mas eles não têm horário de atendimento hoje e prefiro não esperar muito pelo que parece ser uma pergunta simples.

Answer 1

A notação $\cap A$ geralmente denota a interseção de todos os conjuntos que estão contidos em $A$, embora nem todo mundo use essa notação. Usando a noção mais comum de uma interseção em um conjunto de índices, isso significa que

$$ \cap A = \bigcap_{B\in A} B $$ segura, e isso $A$ é um conjunto de conjuntos.

No seu caso, isso significa $$ \mathcal{B} = \cap\{\mathcal{E}:\mathcal{D}\subset\mathcal{E} \text{ and } \mathcal{E} \text{ is a } \sigma \text{-field}\} = \bigcap_{\mathcal{E}:\mathcal{D}\subset\mathcal{E} \text{ and } \mathcal{E} \text{ is a } \sigma \text{-field}} \mathcal{E} $$