Qual é a matriz do logaritmo do operador derivado ( $\ln D$)? Qual é o papel desse operador em vários campos da matemática?

Question

Babusci e Dattoli, no logaritmo do operador derivado , arXiv: 1105.5978 , dá alguns resultados excelentes:\begin{align*} (\ln D) 1 & {}= -\ln x -\gamma \\ (\ln D) x^n & {}= x^n (\psi (n+1)-\ln x) \\ (\ln D) \ln x & {}= -\zeta(2) -(\gamma+\ln x)\ln x. \end{align*} Eu me pergunto, qual é a sua matriz, ou não, existe um método para aplicá-la a uma função?

Qual é o seu papel intuitivo em vários campos da matemática?

Answer 1

Após a transformação de Fourier $x\mapsto k$, isso se torna um operador diagonal com elementos de matriz $\langle k|\ln D|k'\rangle=2\pi \delta(k-k')\ln k$. Portanto, para encontrar os elementos da matriz no$x$-representação, precisaríamos inverter a transformada de Fourier do logaritmo $\ln k$. A partir desta resposta MSE para a transformada de Fourier de$\ln |k|$ (com sinais de valor absoluto) eu concluiria que $$\langle x|\ln D|x'\rangle=\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) \delta (x-x')+\text{P.V.}\left(\frac{1}{2 (x-x')}-\frac{1}{2 | x-x'| }\right).$$

Esta notação significa que $\ln D$ atuando em uma função $f(x)$ produz uma nova função $g(x)$ dado por $$g(x)=\int_{-\infty}^\infty \left[\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) \delta (x-x')+\text{P.V.}\left(\frac{1}{2 (x-x')}-\frac{1}{2 | x-x'| }\right)\right]f(x')\,dx'$$ $$=\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) f(x)+\frac{1}{2}\,\text{P.V.}\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{1}{x-x'}-\frac{1}{| x-x'| }\right)\,f(x')\,dx'.$$

Answer 2

A interpretação de um $\ln(D)$ depende da interpolação que se escolhe do operador derivado usual e suas potências inteiras positivas para um operador derivado integral fracionário (FID), ou seja, uma interpretação de $D$exponenciado por qualquer real (ou número complexo via continuação analítica), que por sua vez, depende das funções sobre as quais o FID deve atuar. A extensão descrita abaixo produz B & Ds três identidades e é consistente com as propriedades que Pincherle impôs a qualquer família legítima de FIDs (veja este MO-Q em uma derivada 1/2 e este MO-Q no cálculo fracionário ). Pode ser definido pela ação em um 'conjunto básico' de funções inteiras na variável complexa$\omega$ como

$$D_x^{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = H(x) \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} ,$$

Onde $H(x)$ é a função de etapa de Heaviside, e $\alpha$ e $\omega$ podem ser quaisquer números complexos com a identificação usual na teoria de funções generalizadas e distribuições de

$$(-1)^n \delta^{(n)}(x) = H(x) \frac{x^{-n-1}}{(-n-1)!},$$

com $n=0,1,2,3,...$.

Observe que isso tem pouco a ver com uma transformada de Fourier sobre a linha real ou qualquer op / símbolo pseudo-diff associado a tal. Em particular,$D^{\alpha}$ aqui NÃO está associado à multiplicação por $(i 2 \pi f)^{\alpha}$no espaço de freqüência. Em outro lugar, eu mostro vários representantes convolucionais equivalentes deste FID como 1) um FT sobre um círculo por meio de uma transformação de uma integral de contorno complexo de Cauchy regularizada, 2) a continuação analítica do representante integral da função beta de Euler por meio de uma ampliação em o plano complexo da integral ao longo do segmento de linha real ou regularização através da parte finita de Hadamard ou através do contorno de Pochhammer, 3) a interpolação de Mellin do operador derivativo padrão através da ação da função geradora$e^{tD_x}$, uma aplicação do operador da fórmula mestre de Ramanujan, ou 4) uma função sinc / interpolação de série cardinal dos coeficientes binomiais generalizados.

Vamos ver como é viável a definição acima do FID; sua conexão a um gerador infinitesimal (infinigen) do FID e das três identidades B&D; uma conexão com o formalismo de sequências polinomiais de Appell Sheffer e, portanto, a teoria polinomial / função simétrica; e representantes de matriz do infinigen e FID.

Se assumirmos que um gerador infinitesimal $IG$ existe tal que

$$ e^{\alpha \; IG} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = D_x^{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = H(x) \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} = e^{-\alpha D_{\omega}} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!},$$

então formalmente

$$D_{\alpha} \; e^{\alpha IG} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} |_{\alpha =0} = IG \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = \ln(D_x) \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!}$$

$$ = D_{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} |_{\alpha =0} = -D_{\omega} \;\frac{x^{\omega}}{\omega!}$$

$$ = [\; -\ln(x) + \psi(1+\omega) \;] H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} $$

$$ = [ \; -\ln(x) + \psi(1+xD_x) \;] \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!}, $$

e o infinígeno é

$$ \ln(D_x) := IG = -\ln(x) + \psi(1+xD_x),$$

Onde $\psi(x)$ é a função digamma, que pode ser definida no plano complexo como uma função meromórfica e está intimamente relacionada aos valores da função zeta de Riemann em $s = 2,3,4,...$.

Alguns representantes (que fornecem as mesmas identidades que em B & D) são

$$IG \; f(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-x|=|x|}\frac{-\ln(z-x)+\lambda}{z-x}f(z) \; dz$$

$$=(-\ln(x)+\lambda) \; f(x)+ \int_{0}^{x}\frac{f\left ( x\right )-f(u)}{x-u}du$$

$$ = [\; -\ln(x)+ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \beta}\ln[\beta!]\mid _{\beta =xD} \; ] \; f(x)=[ \; -\ln(x)+\Psi(1+xD) \;] \; f(x)$$

$$ = [ \; -\ln(x)+\lambda - \sum_{n=1}^{\infty } (-1)^n\zeta (n+1) \; (xD)^n \;] \; f(x)$$

Onde $\lambda$ está relacionado com a constante de Euler-Mascheroni via $\lambda=D_{\beta} \; \beta! \;|_{\beta=0}$.

Outras repetições e outras maneiras de chegar às repetições acima são fornecidas nas referências abaixo.

Vamos examinar uma maneira por meio do formalismo de sequências polinomiais de Appell Sheffer, que resolve quaisquer questões de convergência na exponenciação da fórmula diff op explícita para o infinígeno e permite conexões com a teoria de polinômios / funções simétricas.

A sequência de apelação relevante de polinômios $p_n(z) = (p.(z))^n$ tem a função de geração exponencial, inteira na variável complexa $t$, ou seja, com sua série de Taylor globalmente convergente,

$$\frac{1}{t!} \; e^{zt} = e^{a.t} \; e^{zt} = e^{(a.+z)t} = e^{p.(z)t} = \sum_{n\geq 0} p_n(z) \frac{t^n}{n!}$$

com a sequência polinomial recíproca definida de quatro maneiras consistentes $\hat{p}(z)$

1) $t! \;e^{zt} = e^{\hat{a}.t} \; e^{zt} = e^{(\hat{a}.+z)t} = e^{\hat{p}.(z)t} $, um egf,

2) $M_p \cdot M_{\hat{p}} = I $, em termos das matrizes de coeficientes triangulares inferiores das duas sequências na base de potência monomial $z^n$ com unidade diagonal,

3) $p_n(\hat{p}.(z)) = \hat{p}_n(p.(z)) = (a. + \hat{a.}+z)^n = 1$, uma inversão convolucional umbral,

4) $D_z! \; z^n = e^{\hat{a.}D_z} \; z^n = (\hat{a.}+z)^n = \hat{p}_n(z)$, um gerador operacional.

Conclui-se que o aumento op dos polinômios de Appell $p_n(z)$ definido por

$$R_z \; p_n(z) = p_{n+1}(z)$$

É dado por

$$ R_z \; p_n(z) = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! \; p_n(z) = \frac{1}{D_z!} \; z \; p_n(\hat{p}.(z))$$

$$ = \frac{1}{D_z!} \; z \; z^n = \frac{1}{D_z!} \; z^{n+1} = p_{n+1}(z),$$

uma conjugação de operador, ou 'transformação de calibre', do operador ascendente $z$ para os monômios de energia.

Além disso, com o comutador do operador $[A,B] = AB - BA$,

$$R_z = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! = z + [\frac{1}{D_z!},z] \; D_z! .$$

Agora insira novamente Pincherle e a derivada de operador de mesmo nome, que Rota apregoou para o cálculo de operador finito. O derivado de Graves-Pincherle deriva seu poder do comutador Graves-Lie-Heisenberg-Weyl$[D_z,z] = 1$ a partir da qual, por reordenamento normal, implica para qualquer função expressa como uma série de potências em $D_z$

$$[f(D_z),z] = f'(D_z) = D_t \; f(t) \; |_{t = D_z}.$$

Este é um avatar do derivado Pincherle (PD) que segue da ação $$[D^n,z] \; \frac{z^{\omega}}{\omega!} = [\;\frac{\omega+1}{(\omega+1-n)!} - \frac{1}{(\omega-n)!}\;] \; z^{\omega+1-n} = n \; D_z^{n-1} \; \frac{z^{\omega}}{\omega!},$$

mas o PD é válido para operações de abaixamento e aumento (escada) mais gerais que satisfazem $[L,R]= 1$.

Então

$$R_z = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! = z + [\frac{1}{D_z!},z] \; D_z! = z + D_{t = D_z}\; \ln[\frac{1}{t!}] $$

$$ = z - \psi(1+D_z).$$

Com a substituição $ z = \ln(x)$

$$R_z = R_x = \ln(x) - \psi(1+ x D_x) = -IG = -\ln(D_x).$$

A op de aumento é definida de modo que

$$ e^{t \; R_z} \; 1 = \sum_{n \geq 0} \frac{t^n}{n!} R_z^n \; 1 = e^{tp.(z)} = \frac{1}{t!} \; e^{zt},$$

uma função inteira para $t$complexo; portanto,

$$e^{-t \; IG} \;1 = e^{t \;R_x} \; 1 = e^{t \; p.(\ln(x))} = \frac{x^t}{t!},$$

tão

$$e^{-(\alpha+\beta) \; IG} \;1 = e^{(\alpha+\beta) \; R_x} \; 1 = e^{(\alpha+\beta) \; p.(\ln(x))} = \frac{x^{\alpha+\beta}}{(\alpha+\beta)!}, $$

$$ = e^{-\alpha \; IG} e^{-\beta \; IG} \;1 = e^{-\alpha \; IG} \; \frac{x^\beta}{\beta!} , $$

e podemos identificar que de fato

$$e^{-\alpha \; IG} = D_x^{-\alpha}$$

e

$$IG = \ln(D_x).$$

Agora aplique o PD para $\ln(D)$, como uma verificação do formalismo e uma via para um representante de matriz, dando formalmente

$$ [\ln(D),x] = [\ln(1-(1-D)),x] = \frac{1}{1-(1-D)} = \frac{1}{D} = D^{-1}.$$

Isso recebe um significado explícito ao avaliar o comutador para uma função geral $g(x)$ analítico na origem (que generaliza para o nosso conjunto 'base') usando o representante integral para $R_x = -\ln(D_x)$, dando

$$[\ln(D_x),x] \; g(x) = [-R_x,x] \; g(x) = (-\ln(x)+\lambda) \; [x,g(x)]$$

$$ + \int_{0}^{x}\frac{xg(x)-ug(u)}{x-u} \; du - x \int_{0}^{x}\frac{g(x)-g(u)}{x-u} \; du$$

$$ = \int_{0}^{x} \; g(u) \; du = D_x^{-1} g(x).$$

Então nós temos

$$[\ln(D_x),x] = [-R_x,x] = D_x^{-1} = [-\ln([-R_x,x]),x]$$

e

$$-R_x = \ln(D_x) = -\ln(D_x^{-1}) = -\ln([-R_x,x]),$$

implicando

$$e^{R_x} =\exp[\ln([-R_x,x])] = [-R_x,x] = D_x^{-1}.$$

Além disso, com

$$\bigtriangledown^{s}_{n} \; c_n=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \binom{s}{n}c_n,$$

então

$$R_x = -\ln(D_x) = \ln(D_x^{-1}) = \ln[1-(1-D_x^{-1})]$$

$$ = - \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k}, $$

Onde

$$D_x^{-1} \frac{x^{\omega}}{\omega!} = \frac{x^{\omega+1}}{(\omega+1)!}.$$

A série op de diferença finita está embutida na derivada $D_{\alpha =0}$do interpolador de Newton

$$ \frac{x^{\alpha+\omega}}{(\alpha+\omega)!} = \bigtriangledown^{\alpha}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k}\frac{x^{\omega+k}}{(\omega+k)!}$$

$$ = \bigtriangledown^{\alpha}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} \;\frac{x^{\omega}}{\omega!}$$

$$ = [1-(1-D_x^{-1})]^{\alpha} \; \;\frac{x^{\omega}}{\omega!} = D_x^{-\alpha}\;\frac{x^{\omega}}{\omega!}. $$

Para $\alpha = -m$ com $m = 1,2,...$ e $\omega = 0$, este interpolador de Newton dá

$$D^m_x \; H(x) = \delta^{(m-1)}(x) = H(x) \; \frac{x^{-m}}{(-m)!} = \bigtriangledown^{-m}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} \; H(x)$$

$$ = \sum_{n \geq 0} (-1)^n \binom{-m}{n} \bigtriangledown^{n}_{k} \; H(x) \frac{x^k}{k!} = H(x) \; \sum_{n \geq 0} (-1)^n \binom{-m}{n} \; L_n(x)$$

$$ = H(x) \; \sum_{n \geq 0} \binom{m-1+n}{n} \; L_n(x), $$

que concorda em um sentido distributivo com as resoluções polinomiais de Laguerre de $f(x) = \delta^{(m-1)}(x)$nas fórmulas deste MO-Q , uma vez que, com$c_n = f_n$ na notação lá,

$$ f(x) = \sum_{n \geq 0} c_n \; L_n(x)$$

com

$$\sum_{n \geq 0} t^n \; c_n = \frac{1}{1-c.t} = \int_0^{\infty} e^{-x} \sum_{n \geq 0} t^n \; L_n(x) f(x) \; dx$$

$$ = \int_0^{\infty} e^{-x} \frac{e^{-\frac{t}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx,$$

então, para o $m$-ésima derivada da função de Heaviside,

$$\frac{1}{1-c_{m,.}t}= \int_0^{\infty} e^{-x} \frac{e^{-\frac{t}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} \delta^{(m-1)}(x) \; dx = \frac{1}{(1-t)^{m}},$$

e, portanto, os coeficientes da resolução da série de Laguerre do $m$-ésima derivada da função de Heaviside são

$$c_{m,n} =(-1)^n \binom{-m}{n} = \binom{m-1+n}{n},$$

de acordo com o interpolador de Newton.

Aplicando $D_x^{-1}$ iterativamente para ambos os lados desta identidade estabelece interpolações convergentes para $\omega = 1,2,3,...$, e agindo com base no poder dentro da expansão binomial de $\frac{x^{\omega}}{\omega!} = \frac{(1-(1-x))^{\omega}}{\omega!}$ deve fornecer expressões convergentes também.

Da mesma forma para $\omega=0$, temos a transformada de Laplace (ou mais precisamente, a transformada de Mellin modificada central para a fórmula mestre de Ramanujan por meio da qual os FIDs podem ser lançados como interpolações de Mellin dos derivados padrão),

$$\frac{1}{1-c.t} = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} \frac{x^{\alpha}}{\alpha!} \; dx = (1-t)^{\alpha},$$

para $Re(\alpha) > -1$, dando

$$c_n = (-1)^n \binom{\alpha}{n}.$$

Esta transformada de Laplace e, portanto, o interpolador de Newton podem ser continuados analiticamente de várias maneiras padrão (por exemplo, ampliação da linha real para o plano complexo através de um contorno de Hankel , parte finita de Hadamard ) para o plano complexo completo para$\alpha$. Para os expoentes inteiros negativos, o contorno de Hankel se contrai para o representante de contorno de Cauchy usual para diferenciação. A abordagem de partes finitas de Hadamard permite que o interpolador de Newton seja modificado apropriadamente, faixa por faixa, para fornecer os resultados pretendidos.

Voltando ao representante de diferença finita para $\ln(D_x)$, a ação do infinigen em 1 então dá, para $x > 0$,

$$\ln(D_x) 1 = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} 1$$

$$ = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} \frac{x^k}{k!}$$

$$ = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; L_n(x) = -\ln(x)-.57721... , $$

Onde $L_n(x)$ são os polinômios de Laguerre, de acordo com a primeira equação de B&D da questão.

Gráficos dos resultados da avaliação da série de operadores truncados em $n=80$, ou então, agindo em $x^2$ e $x^3$ coincidir com os resultados analíticos também.

O representante da matriz $M$ da ação desta op de integração $D_x^{-1}$ sobre $x^n$ é bastante simples na base da potência - uma matriz com todos os zeros, exceto para o primeiro subdiagonal ou superdiagonal, dependendo da multiplicação da matriz esquerda ou direita, com elementos $(1,1/2,1/3,...)$.

O representante da matriz para $R_x$ é então

$$ R_M = \ln[I-(I-M)] = - \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} M^k. $$

Exponenciando,

$$D_x^{-\beta} = \exp(-\beta R_x)= (1-(1-D_x^{-1} ) )^{\beta} = \bigtriangledown^{\beta}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} (D_x^{-1})^k.$$

O representante de matriz associado é

$$ \exp(-\beta R_M)= \bigtriangledown^{\beta}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} M^k.$$

(Não verifiquei esses cálculos de matriz numericamente como faria normalmente, uma vez que meu disco MathCad está armazenado em outro estado.)

Para agir em poderes não inteiros de $x$, você deve representá-los como superposições da base de potência inteira como na expansão binomial

$$x^{\alpha} = [1 - (1-x)]^{\alpha} = \bigtriangledown^{\alpha}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} x^k .$$

Alternativamente, volte para o $z$ rep e anote o representante da matriz da operação de aumento $R_z$. Esta é uma transformação simples da matriz Pascal triangular inferior infinita aumentada com uma primeira superdiagonal de todas as unidades. OEIS A039683 tem um exemplo de matriz equivalente de um aumento de op na base de potência monomial, também conhecido como uma matriz de produção em outra abordagem (Riordan?) Para sequências polinomiais. Melhor, neste caso, mudar para a base de potência dividida$z^n/n!$. Então, a matriz Pascal aumentada torna-se a matriz de soma simples de todas as unidades. Multiplique ao longo da n-ésima diagonal por$c_n$ Onde $(c_0,c_1,..) = (1-\lambda,-\zeta(2),...,(-1)^k \; \zeta(k+1),...)$ para gerar o representante da matriz para a operação crescente, mas desde, por exemplo, $x^2=e^{2z}$, isso rapidamente se torna um algoritmo confuso de aplicar em comparação com o representante de diferença finita.

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Outras referências (não exaustivas):

1. Riemann zeta e cálculo fracionário, um MO-Q
2. Função Digamma / Psi, Wiki
3. OEIS A238363 no log do operador derivado
4. OEIS A036039 nos polinômios de índice de ciclo e funções simétricas
5. Funções Zeta e os polinômios de índice de ciclo, um MO-Q
6. Na oportunidade de levantamento para FIDs, um MSE-Q
7. OEIS A132440 em uma matriz infinigen
8. OEIS A263634 em representantes polinomiais de partição para operações de levantamento de apelação
9. Ref para outro interp de um log de um derivado, um pdf
10. Interpolação / continuação analítica dos fatoriais para o gama fct, MSE-Q
11. Levantando ops para sequências de Appell, uma postagem de blog
12. Exemplo de interpolação de Mellin de $e^{tD}$, MO-Q
13. Mais sobre interpolação / continuação analítica de operações diferenciais, uma postagem no blog
14. Duas continuações analíticas dos coeficientes de uma função geradora, MO-Q
15. FIDs e funções hipergeométricas confluentes, um MO-Q
16. Observação sobre o derivado do Pincherle, uma postagem no blog
17. FIDs e interpolação de coeficientes binomiais, uma postagem de blog
18. FIDs, interpolação e ondas viajantes, uma postagem no blog