Quantas senhas são possíveis?

Question

Uma senha para um banco precisa incluir 11 letras pode ser feita a partir do$A,B,..Z$ letras (apenas maiúsculas), de modo que a senha deve incluir a letra $A$ excatly 5 vezes e $Z$ exatamente 3 vezes, quantas senhas diferentes podem ser feitas?

Acho difícil aplicar as condições das cartas $A$ e $Z$, Eu sei que em geral sem condições, há $26^{11}$ opções, agora eu gostaria de entender o número de senhas proibidas.

Answer 1

Desde a $8$ lugares da senha são fixos, vamos considerar o restante $3$ lugares que podem ser preenchidos com o restante $24$ cartas.

O número de "$3-24$"senhas é $24^3$.

Agora, considere uma senha composta por $5$ "UMA", $3$ "Z" e $3$"*". O número dessas senhas é$$\frac{11!}{5!3!3!}.$$

Observe que esse número é avaliado usando a fórmula de permutações de multisets .

Portanto, o número total de senhas que atendem aos seus requisitos é:

$$24^3 \cdot \frac{11!}{5!3!3!} = 127'733'760.$$

Observe que as letras "*" correspondem a "$3-24$"senhas.

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Uma explicação mais eficaz é a seguinte:

\ begin {array} {ccccccccccc} A & A & A & A & A & Z & Z & Z & * & * & * \\ A & A & A & A & A & A & Z & Z & * & Z & * & * \\ A & A & A & A & A & A & Z & * & Z & Z & * & * \\ & & & & & \ vdots \\ * & * & * & Z & Z & Z & A & A & A & A & A \\ \ end {array}

O número de linhas desta tabela é $\frac{11!}{5!3!3!}$. Para cada linha, você pode formar exatamente$24^3$ senhas atribuindo letras diferentes a "*" s.

Answer 2

tem $11 \choose 5$ maneiras de escolher os lugares para os 5 $A$s. Depois que isso for feito, há$6$ manchas restantes, e então há $6 \choose 3$ escolher os lugares para os 3 $Z$s.

Há agora $11 - 5 - 3 = 3$manchas deixadas. Agora estão aí$24$ letras restantes para escolher (desde $A$ e $Z$ foram usados), e as letras podem ser repetidas, então há $24^3$ maneiras de preencher estes $3$ pontos.

Portanto, o total é ${11 \choose 5} \cdot {6 \choose 3} \cdot 24^3 = 127 \ 733 \ 760 $.

Answer 3

Em primeiro lugar, observe que oito das letras são fixas. Agora, as três letras restantes podem ser qualquer uma das letras, exceto para$A$ e $Z$. tem${}^{24}C_3$combinações para isso. Agora, essas 11 letras poderiam se intercambiar em$11!$ maneiras.

Mas os intercâmbios entre os $5$ $A$'areia $3$ $Z$'s não são significativos. Portanto, o número total de permutações (trocas) é$$\frac{11!}{5!\cdot 3!} = 332640$$

Pelo princípio da multiplicação, o número total de senhas é $${}^{24}C_3\times 332640 = 4039518160$$

Espero que ajude :)