Que tipo de espaço pode ser feito com complexos CW?
Vindo de uma formação principalmente em álgebra e geometria, estou curioso para saber que tipos de espaços podemos construir usando complexos CW. Para ser franco, minha pergunta é:
Qual categoria "geométrica" é a maior que se pode construir (todos / alguns / a maioria) dos espaços topológicos de usar complexos CW?
A página da Wikipedia lista vários exemplos aqui , no entanto, uma perspectiva mais ampla no cenário de possibilidades seria bom.
Parece claro que nem todos os espaços topológicos são complexos CW: exigir que o espaço seja Hausdorff elimina muitos exemplos "patológicos" (por exemplo, o brinco havaiano ), mas também muitos espaços de interesse (por exemplo, espaços com topologia Zariski).
No lado positivo, os poliedros são, e as variedades mais legais são (homotopia equivalente a) complexos CW ( veja aqui ). Além disso, de acordo com a página da Wikipedia, variedades algébricas reais e complexas (usando suas topologias euclidianas, eu suponho) são complexos CW. Também estou suspeitando que os tipos de espaços estratificados estudados em Homologia de Intersecção ( pseudovariedades topológicas? ) São bons candidatos.
Talvez minha visão geométrica também seja muito restrita, quaisquer tipos de espaços CW que surgem na análise também são bem-vindos.
Respostas
Depende da sua perspectiva e, de muitas maneiras, é uma pergunta difícil de responder.
Por exemplo, estudo topologia algébrica. O que é importante para mim é que, conforme observado nos comentários, todo espaço topológico é fracamente homotópico equivalente a um complexo CW. Em certo sentido (e com uma quantidade apropriada de acenos de mão), a categoria de complexos CW é a "configuração correta" para fazer a teoria da homotopia. Esta é uma resposta possível à sua pergunta inicial.
No entanto, de outro ponto de vista, não é a configuração correta para nada, e o ponto de vista em questão depende do que você entende por "categoria geométrica". Você é um geômetra algébrico? Um geômetra diferencial? Analista? Tem certeza de que deseja restringir apenas a espaços topológicos? Eles precisam ser metrizáveis?
O que estou tentando transmitir é que você provavelmente deseja (e realmente precisa) ter uma noção apropriada de "mesmice" em mente quando faz perguntas do tipo "quais espaços são complexos CW?". O que você realmente está perguntando é "Quais espaços são iguais aos complexos CW?". Equivalente de homotopia? Homeomórfico? Difeomórfico? Isométrico? Igual? Isso é mais do que apenas um ponto filosófico.
Novamente, conforme observado nos comentários, a "maior categoria que pode ser construída a partir de complexos CW" é a categoria de complexos CW. Os objetos são complexos CW e os mapas entre eles são mapas de complexos CW. Há uma infinidade de respostas a essas perguntas disponíveis em muitos lugares. Aquele que não foi mencionado nos comentários - e que é de natureza analítica - é um espaço de Hilbert de dimensão infinita. Este não é um complexo CW. Variedades diferenciáveis têm o tipo de homotopia dos complexos CW. O brinco havaiano, não.
EDITAR: Em resposta ao seu comentário, um exemplo de um complexo CW que não é uma variedade é (por exemplo)$S^1 \vee S^1$.