Quebra explícita de simetria conforme

Question

Eu penso em uma teoria de campo conformada relativística como basicamente qualquer teoria que não tenha uma escala de comprimento. Digamos que todas as partículas não tenham massa e todos os acoplamentos sejam adimensionais. (Eu poderia realmente falar sobre invariância de escala, mas estou mais acostumado a falar sobre conformal).

Agora, quero quebrar a simetria conforme introduzindo uma escala de comprimento. Digamos que uma das partículas tenha massa. Parece-me que tal quebra não pode nunca ser considerada pequena ou grande, simplesmente porque não existe outra escala para a comparar. No entanto, parece que tanto em energias muito baixas quanto muito altas, a teoria deve ser aproximadamente conforme novamente. No exemplo acima, com energias muito baixas, o campo massivo se desacopla efetivamente, enquanto que com energias muito altas ele se torna quase sem massa. Portanto, os dois tipos de teorias que obtemos (em baixas e altas energias) são diferentes.

Acho que não tenho uma pergunta muito específica, mas gostaria apenas de entender melhor esse tipo de situação. Algumas coisas que vêm à mente

1. É necessário usar todo o poder do grupo de renormalização para conectar as teorias de baixa e alta energia neste caso? Ou pode haver alguma solução alternativa se eu conheço um CFT com o qual comecei e talvez para um tipo específico de operador de quebra de simetria?
2. Quais são alguns exemplos solucionáveis ​​(e possivelmente simples) em que se pode rastrear esse comportamento?
3. Estou particularmente interessado em deformar 2d Liouville CFT, portanto, quaisquer referências específicas que possam ser relevantes são bem-vindas.

Answer 1

Não tenho certeza do que exatamente você está procurando com o seu primeiro marcador, mas abordarei o segundo, procurando um modelo exatamente solucionável com um fluxo RG não trivial que pode ser determinado apenas olhando diretamente para as funções de correlação, em vez de do que derivar funções beta. É o grande$N$ limite de $\phi^4$ teoria: $$ \mathcal{S} = \int d^dx \,\left[ \frac{1}{2} \left( \partial_{\mu} \phi_{\alpha} \right)^2 + \frac{\lambda}{2N} \left( \phi^2_{\alpha} - N m^2 \right)^2 \right]. $$ Aqui estou usando uma notação ligeiramente diferente para facilitar um grande$N$ expansão, mas multiplicando o último termo você obtém o usual $\phi^4$ teoria com alguns fatores de $N$ e $m^2$colocado de forma diferente do que você está acostumado (e uma constante sem importância). Para$2 < d < 4$, o fluxo RG desta teoria é conhecido por se parecer com o seguinte (crédito da imagem https://arxiv.org/abs/1811.03182):

Os fluxos para $m^2 = \pm \infty$ descrevem um fluxo para uma teoria com lacunas onde todas as funções de correlação decaem exponencialmente em longas distâncias, então elas não são tão interessantes quanto a linha que conecta a teoria sem massa livre $G$ ao ponto fixo de Wilson-Fisher sem massa $WF$. Veremos que, embora todas as funções de correlação sejam algébricas em distâncias grandes e pequenas, há um cruzamento de expoentes críticos entre os dois casos assintóticos. A constante$\lambda$, que tem unidades de $\mathrm{(energy)}^{4-d}$, terá um papel essencial aqui.

Não vou entrar em todos os detalhes do grande$N$solução, mas vou descrevê-la (essencialmente, estou seguindo a Seção II deste artigo , que por sua vez usa um método semelhante ao do livro de Polyakov). A primeira etapa é usar uma transformação Hubbard-Stratanovich para escrever$$ \mathcal{Z} = \int \mathcal{D}\phi \, e^{-\mathcal{S}} = \int \mathcal{D}\phi \mathcal{D}\tilde{\sigma} \, e^{-\mathcal{S}'} $$ Onde $$ \mathcal{S}' = \int d^dx \,\left[ \frac{1}{2} \left( \partial_{\mu} \phi_{\alpha} \right)^2 + \frac{i \tilde{\sigma}}{2\sqrt{N}} \left( \phi^2_{\alpha} - N m^2 \right) - \frac{\tilde{\sigma}^2}{8 \lambda} \right]. $$ Neste ponto, podemos integrar os campos gaussianos $\phi_{\alpha}$, obtendo uma teoria da forma $\mathcal{Z} = \int \mathcal{D} \tilde{\sigma} \, e^{- N \mathcal{S}[\tilde{\sigma}]}$. Isso pode ser resolvido usando um método de ponta de sela, como discuto em uma resposta anterior minha . Um expande o campo como$i \tilde{\sigma} = \Delta^2 + i \sigma$. Então, obteremos uma função de partição do formulário$$ \mathcal{Z} = e^{- N \mathcal{S}'[\Delta^2]} \int \mathcal{D}\sigma \, \exp \left[ \frac{1}{2} \int \frac{d^d p}{(2 \pi)^d} \left( \frac{\Pi(p)}{2} + \frac{1}{4 \lambda} \right) |\sigma(p)|^2 + O(1/\sqrt{N}) \right]. $$ Podemos colocar correções no $N=\infty$solução, e nós resolvemos a teoria em princípio. Pode-se mostrar que o valor de$\Delta^2$ que minimiza a ação é dada por $$ m^2 + \frac{\Delta^2}{2\lambda} = \int \frac{d^dp}{(2 \pi)^d} \frac{1}{p^2 + \Delta^2}, $$ e também apresentei a função $$ \Pi(p) = \int \frac{d^d k}{(2\pi)^d} \frac{1}{(k^2 + \Delta^2)((k+p)^2 +\Delta^2)}. $$

Agora consideramos as funções de correlação dos campos. Eles podem ser fragmentados, por exemplo, acoplando uma fonte ao campo em que estamos interessados ​​em nossa teoria original, realizando a expansão do ponto de sela e, em seguida, tomando derivadas variacionais em relação às fontes. Para os campos$\phi_{\alpha}$ nós achamos $$ \langle \phi_{\alpha}(x) \phi_{\beta}(0) \rangle = \int \frac{d^dp}{(2 \pi)^d} \frac{\delta_{\alpha \beta} \, e^{i p \cdot x}}{p^2 + \Delta^2}. $$ Isso implica que as correlações do $\phi$ campos decaem exponencialmente, a menos $\Delta = 0$, nesse caso $$ \langle \phi_{\alpha}(x) \phi_{\beta}(0) \rangle \sim \frac{\delta_{\alpha \beta}}{|x|^{d - 2}}. $$ Podemos sintonizar $\Delta = 0$ ajustando o termo de massa, $m_c^2 = \int \frac{d^dp}{(2 \pi)^d} \frac{1}{p^2}$. (Temos um positivo em vez de negativo$m^2$ porque eu defini $m^2$ com um sinal diferente do normal.) Claro, devemos regular esta integral no UV para obter um valor finito para $m_c$. O integral é IR divergente para$d \leq 2$; não há uma solução completa para a equação do ponto de sela neste caso. Em sintonia$m_c$ para este valor, ajustamos a linha entre $G$ e $WF$ na imagem acima.

Podemos concluir que, em função da escala de comprimento $x$, a dimensão de escala do $\phi_{\alpha}$os campos não mudam; é igual ao valor do campo livre de$D_{\phi} = (d-2)/2$ em ambos $G$ e $WF$ CFTs.

Mas nem todos os operadores se comportam de maneira tão trivial. Considere o O ($N$) operador singlet, $\phi^2 \equiv \sum_{\alpha} \phi_{\alpha} \phi_{\alpha}$. Ao acoplar isso a um campo de origem, pode-se mostrar a identidade$$ \langle \sigma(x) \sigma(0) \rangle = 4 \lambda \delta^d(x) - \frac{4 \lambda^2}{N} \langle \phi^2(x) \phi^2(0) \rangle. $$ Portanto, ao estudar o comportamento do $\sigma$ campo usando a teoria gaussiana acima, podemos determinar a dimensão de escala de $\phi^2$. Para$\Delta = 0$, não é difícil mostrar $\Pi(p) = F_d p^{d - 4}$ para uma constante adimensional desinteressante $F_d$, e podemos ler o $\sigma$ propagador: $$ G_{\sigma}(p) = \frac{2}{\Pi(p) + 1/(2 \lambda)} = \frac{2}{F_d p^{d - 4} + 1/(2\lambda)}. $$ Vou reescrever isso para depender de $\lambda$ mais aparente: $$ G_{\sigma}(p) = \frac{1}{p^{d - 4}} \frac{4 \lambda p^{d - 4}}{2 F_d \lambda p^{d - 4} + 1}. $$ O objetivo desta reescrita é destacar a combinação adimensional $\lambda p^{d - 4}$, que controla claramente o fluxo entre o IR ($p \rightarrow 0$) e o UV ($p \rightarrow \infty$)

Considere primeiro o IR. Uma vez que estamos assumindo$d<4$, nós achamos $G_{\sigma}(p) = 2p^{4 - d}/F_d$, então, após uma transformação de Fourier, esperamos $$ \langle \phi^2(x) \phi^2(0) \rangle \sim \frac{N/\lambda^2}{|x|^{4}}. $$ Descobrimos que a dimensão de escala IR é $D_{\phi^2} = 2$, que não é igual a duas vezes a dimensão de escala de$\phi_{\alpha}$como na teoria livre. Observe que este poder preciso de$\lambda^2$ que aparece no lado direito é necessário para as dimensões de engenharia e dimensionamento de $\phi^2$ para combinar.

Em contraste, no UV um tem $$ G_{\sigma}(p) = 4 \lambda - 8 \lambda^2 F_d p^{d - 4} + \cdots $$ Depois de uma transformada de Fourier, o primeiro termo do lado direito gera a função delta indicada acima (com o fator correto de 4), e encontramos $$ \langle \phi^2(x) \phi^2(0) \rangle \sim \frac{N}{|x|^{2(d - 2)}}, $$ indicando que a dimensão de escala assume seu valor de campo livre $D_{\phi^2} = (d - 2) = 2 D_{\phi}$. Portanto, o UV desta teoria está no ponto fixo gaussiano. Observe que o$\lambda$ a dependência caiu.

Claro, para escalas de observação intermediárias, é necessário computar toda a função $$ \int \frac{d^d p}{(2 \pi)^d} \frac{e^{i p \cdot x}}{p^{d - 4}} \frac{4 \lambda p^{d - 4}}{2 F_d \lambda p^{d - 4} + 1} $$ para obter como o correlacionador $\langle \phi^2(x) \phi^2(0) \rangle$ se comporta como uma função de $\lambda |x|^{4 - d}$, e não se comportará como uma lei de potência (e, portanto, não descreverá um CFT) até que você tome os limites de escala de UV ou IV.