Quebrar produto como retrocesso?

Question

Ao considerar o $\mathsf{Hom}$-functor

$$ \mathsf{Hom}_*: \mathsf{Set}_*^{\text{op}} \times \mathsf{Set}_* \to \mathsf{Set}_* $$

parece um tanto claro para mim que o adjunto esquerdo é o produto esmagador

$$ (X,x_0) \wedge (Y,y_0) = (X\times Y) / [(X\times \{y_0\}) \cup (\{x_0\} \times Y)]. $$

Isso parece relativamente simples para mim, pois se $F$ é o adjunto esquerdo, então

$$ \mathsf{Set}_*\left [(X,x_0), \mathsf{Hom}_*\left ((Y,y_0), (Z,z_0)\right ) \right ] \;\; \cong \;\; \mathsf{Set}_*\left [F((X,x_0), (Y,y_0)), (Z, z_0) \right ] $$

o que significa que $F((X,x_0), (Y,y_0))$ é um conjunto pontiagudo e corresponde precisamente a mapeamentos que são constantes em todos os pares do formulário $(x,y_0)$ e $(x_0,y)$ para todos $x\in X, y\in Y$.

Agora, minha pergunta decorre do livro de Riehl, onde ela afirma que esta afirmação pode ser formulada de forma categórica, de modo que $\mathsf{Set}$ pode ser substituído por qualquer categoria fechada cartesiana.

O produto esmagado pode ser descrito como um retrocesso? Em outras palavras, temos o seguinte diagrama comutativo:

$$ \require{AMScd} \begin{CD} (X,x_0)\wedge (Y,y_0) @>>> X \\ @VVV @VVV \\ Y @>>> X\times Y \end{CD} $$

onde as duas primeiras pernas são projeções e as próximas duas pernas são inclusões da forma $i_{y_0}:X\to X\times Y$ dado por $i_{y_0}(x) = (x,y_0)$ e da mesma forma, $i_{x_0}:Y\to X\times Y$ dado por $i_{x_0}(y) = (x_0,y)$? Deixe-me saber se a minha lógica parece boa e em que direção devo seguir.

Answer 1

Na categoria de conjuntos pontiagudos, o ponto $x_0\in X$ corresponde a um morfismo $x_0 : * \to X$. Dados dois conjuntos de pontas, você pode formar o pushout$$ \require{AMScd} \begin{CD} * @>>> X \\ @VVV@VVV \\ Y @>>> X \vee Y \end{CD} $$ onde você identifica os dois pontos $x_0,y_0$ em um único na união disjunta $X\sqcup Y$.

Agora, observe que $X\vee Y$ é um subconjunto (pontiagudo) de $X\times Y$: identifica o subconjunto $(\{x_0\}\times Y)\times (X\times\{y_0\})$ (simplesmente porque os dois pontos distintos se tornaram um ponto $(x_0,y_0)$ dentro $X\vee Y$)

E se você pegasse o quociente de $X\times Y$ de $X\vee Y$? Este é exatamente o produto esmagador de$X$ e $Y$. Mas, ao mesmo tempo, este é também o empecilho$$\require{AMScd} \begin{CD} X\vee Y @>>> X\times Y \\ @VVV@VVV \\ * @>>> X\land Y \end{CD} $$ Isso funciona exatamente da mesma forma em todas as categorias que têm um objeto zero e todos os pushouts: por exemplo, na categoria de espaços topológicos pontiagudos.

O fato interessante é que se sua categoria é, digamos, a de grupos abelianos, o "produto esmagador" aí é o objeto zero, porque $X\vee Y\cong X\times Y=X\oplus Y$.

Então, você pode pensar no produto esmagado como uma medida da falha de produtos e coprodutos em serem isomórficos: quanto maior o quociente $\frac{X\times Y}{X\vee Y}$, quanto mais longe a categoria ambiental estiver de ter biprodutos .