Questão sobre jogos de azar
Exercício 4.21: Em um jogo você ganha \ $ 10 com probabilidade $ \ frac {1} {20} $ e perde \ $ 1 com probabilidade$\frac{19}{20}$. Aproxime a probabilidade de você perder menos de \ $ 100 após os primeiros 200 jogos. Como essa probabilidade mudará após 300 jogos?
Tentativa :
Primeiro, mostramos os ganhos e perdas juntos em uma única variável. Defina \ begin {equation *} W_n = 10S_n - (n - S_n) \ end {equation *} onde $ W_n $ denota os ganhos após $ n $ games e $ S_n $ define o número de vitórias em $ n $ games. Assim, \ begin {equation *} P (W_n \ geq 100) = P (11S_n - n> -100) = P \ biggr (S_n> \ frac {n - 100} {11} \ biggr). \ end {equation *} Agora, aplicamos o Teorema do Limite Central em ambos os casos, com diferentes valores de $ n $ .
Seja $ n = 200 $ , então $ S_n \ sim Bin (200, \ frac {1} {20}) $ . Portanto, desejamos $ S_n> \ frac {100} {11} $ . Além disso, $ E [S_n] = 200 \ cdot \ frac {1} {20} = 10 $ e Var $ (S_n) = 200 \ cdot \ frac {1} {20} \ cdot \ frac {19} {20} = \ frac {19} {2}. $ Assim, segue de CLT com a correção de continuidade que \ begin {equation *} P \ biggr (\ frac {\ frac {100} {11} - 10} {\ sqrt { \ frac {19} {2}}} <\ frac {S_n - 10} {\ sqrt {\ frac {19} {2}}} \ biggr) \ approx 1 - \ Phi (-0,457169) \ approx 0,6772. \ end {equação *}
Agora, o livro dá uma resposta diferente para o primeiro caso de 200 jogos, sendo 0,5636. Desejo entender meu erro antes de passar para o próximo caso
Intuitivamente, isso também faz sentido, pois a condição de $ S_n> \ frac {100} {11} $ deve estar perto do topo da curva do sino da distribuição normal, pois o valor esperado de 10 está próximo de $ \ frac {100} {11} $ . No entanto, por mais que eu não consiga identificar o erro em meu cálculo.
(A outra questão do Math Stack Exchange para essas questões não esclareceu nada essencialmente para mim, daí esta postagem.)
Perder menos de $ 100 em um jogo de azar.
Respostas
E se $X$ é o número aleatório de vitórias em $n$ jogos então $$X \sim \operatorname{Binomial}(n = 200, p = 0.05)$$ e a variável aleatória de ganho / perda líquida é $$W = 10X - (n-X) = 11X - n.$$ portanto $$\Pr[W > -100] = \Pr[11X - 200 > -100] = \Pr[X \ge 10].$$ Esta última expressão se deve ao fato de que $X$não pode assumir valores fracionários. Consequentemente,$$\Pr[X \ge 10] = 1 - \sum_{x=0}^{9} \binom{200}{x} (0.05)^x (0.95)^{200-x} \approx 0.54529\ldots.$$ Esta é a probabilidade exata: a única aproximação aqui está no arredondamento da fração para uma casa decimal.
Isso também dá uma ideia chave do motivo pelo qual sua resposta está incorreta: só porque você está usando uma aproximação normal com correção de continuidade não significa que os resultados para $W$ que você deseja incluir na probabilidade desejada pode estar fora do espaço de amostra para $W$.
Por exemplo, se $U \sim \operatorname{Binomial}(n = 500, p = 0.5)$, e eu te peço por $\Pr[U < 225.999]$, primeiro você precisa escrever $\Pr[U < 225.999] = \Pr[U \le 225]$, então você aplica a correção de continuidade para aproximar como$$\Pr\left[Z \le \frac{225.5 - 250}{5 \sqrt{5}}\right].$$O mesmo se aplica aqui; portanto$$\Pr[W > -100] = \Pr[X \ge 10] \approx \Pr\left[\frac{X - 10}{\sqrt{9.5}} \ge \frac{9.5 - 10}{\sqrt{9.5}}\right] \approx \Pr[Z \ge -0.162221] \approx 0.564434.$$ Evidentemente, seu texto está arredondando antes de completar o cálculo, ou está usando uma consulta de tabela normal padrão sem interpolação, uma vez que $\Pr[Z \ge -0.16] \approx 0.563559$. Em qualquer caso, a aproximação$$\Pr[Z \ge -0.457169] \approx 0.676225$$ desvia muito.