Radical de Jacobson do anel polinomial

Question

Definição: Let$M$ feijão $R$módulo. Então Jacobson radical de$M$ é denotado por $J_R(M)$ e definido como a interseção de todos os submódulos máximos de $M$. E se$M$ não tem submódulo máximo então $J_R(M)=M$.

Deixei $R$ ser um anel comutativo e $S=R[x]$ser o anel polinomial. Sabemos que Jacobson radical de$S$ é $Nil(R)[x]$ quando $S$ é tomado como $S$módulo. ie$J_S(S)=Nil(R)[x]$.

Minha pergunta: qual será o radical Jacobson de$S$ quando $S$ é tomado como $R$módulo? ie$J_R(S)=?$

Por favor me ajude. Serei muito grato a você.

Answer 1

Primeiro observe que $S\cong\bigoplus_{n\in\Bbb N}R$ Como $R$-módulo. Além disso, o radical jacobson preserva somas diretas, portanto$$J_R(S)\cong\bigoplus_{n\in\Bbb N}J_R(R)$$ esse é o submódulo de polinômios com coeficientes em $J_R(R)$.

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Para provar que o radical Jacobson comuta com soma direta de módulos, primeiro observe que cada $R$-módulo homomorfismo $\varphi:M\to N$ mapas $J_R(M)$ para dentro $J_R(N)$. Aplicando isso às projeções canônicas$\bigoplus_iM_i\to M_i$ dá $J_R(\bigoplus_iM_i)\subseteq\bigoplus_iJ_R(M_i)$. Da mesma forma, ao considerar as inclusões canônicas$M_i\to\bigoplus_iM_i$ nós temos a inclusão reversa $J_R(\bigoplus_iM_i)\supseteq\bigoplus_iJ_R(M_i)$.