Raízes complexas de unidade em uma matriz

Question

Deixei $\omega $ ser uma raiz cúbica complexa de unidade com $\omega \ne 1 $ e $P=[p_{ij}]$ seja um $n \times n $ matriz com $p_{ij}=\omega^{i+j}$. Então$P^2 \ne0$ quando $n=$

(A) 57

(B) 55

(C) 58

(D) 56

A resposta oficial é $B,C,D$. Considerando que os valores são maiores que$50$ se virmos a resposta, com base na minha suposição, o valor de $n$ não é um múltiplo de $3$.

Precisamos encontrar a matriz quadrada cujo quadrado não é igual à matriz zero. Como encontramos o valor de$n$?

Answer 1

$P^2$=$\begin{bmatrix}w^2 &w^3 &w^4& .&.&.\\ w^3 \\ w^4 \\ .\\ .\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}w^2 &w^3 &w^4& .&.&.\\ w^3 \\ w^4 \\ .\\ .\end{bmatrix}$
=$\begin{bmatrix}w^4+w^6+w^8+...& .&.&.\\ . \\ . \\ .\\ .\end{bmatrix}$
=$\begin{bmatrix}w+1+w^2+...& .&.&.\\ . \\ . \\ .\\ .\end{bmatrix}$=$\begin{bmatrix}0+...& .&.&.\\ . \\ . \\ .\\ .\end{bmatrix}$

Nós deduzimos isso $n$ não deve ser um múltiplo de $3$. Dúvida?