Resolva a base de um triângulo isósceles

Question

A área de um triângulo isósceles é $S$ e o ângulo entre as medianas das pernas, voltado para a base, é $\alpha$. Encontre a base do triângulo.

$2\sqrt{\dfrac{S\tan\dfrac{\alpha}{2}}{3}}.$

Deixei $CH$seja a terceira mediana do triângulo. O ponto$M$ encontra-se $CH$ porque o triângulo é isósceles, então em $\triangle ABM,$ $MH$é uma mediana e uma altitude, então é um triângulo isósceles. Então$\measuredangle AMH=\measuredangle BMH=\dfrac{\alpha}{2}.$Eu estudei apenas funções trigonométricas de um ângulo agudo. Você pode me dar uma dica?

Answer 1

O centróide divide a mediana na razão $2:1$ onde o $2$ é o lado do ângulo de onde vem e $1$é o lado do centróide onde a mediana encontra o lado. Isto faz$CM:MH=2:1 \implies MH= \dfrac13 CH \implies CH = 3 MH$.
Dentro$\triangle AHM$ Você tem $\dfrac{AH}{MH}=\tan\left( \dfrac{\alpha}2 \right) $, $AB=2AH$ e a fórmula de altura base para $S$.

Answer 2

Dica: $MH = \frac1{3}CH$ então $AH/MH =\frac{3AB}{2CH}$. Agora use a fórmula padrão para a área e compare-a com esta equação. Tenho certeza de que você encontrará a resposta.