resolver: $xy''+2y'+xy=1$

Question

dado que $y=\frac{\sin x}{x}$ é uma solução para $xy''+2y'+xy=0$, resolver $xy''+2y'+xy=1$.

Minha tentativa:

$\begin{aligned}xy''+2y'+xy&=0\\y''+\frac2xy'+y&=0\\\begin{pmatrix} \frac{\sin x}x& u\\ \frac{x\cos(x)-\sin(x)}{x^2} & u' \end{pmatrix}&=\frac2x\\\frac{\sin x }{x}u'-\frac{x\cos(x)-\sin(x)}{x^2}u&=\frac2x\\\left(u\frac{x}{\sin x}\right)'&=\frac{2x}{\sin^2x}\\u\frac{x}{\sin x}&=2\left(-x\cot x+\log\left(\sin x\right)\right)+c\\u&=2\left(-\cos x+\frac{\sin x\log\sin x}x\right)+c\frac{\sin x}x\\\end{aligned}$.

Por isso encontramos outra solução. Agora, vamos tentar encontrar uma solução específica para:$y''+\frac2xy'+y=\frac1x$ O método do coeficiente indeterminado parece ser ineficiente aqui, alguém tem uma solução eficiente para isso.

Answer 1

$$xy''+2y'+xy=0$$ Por redução do método de pedido $$y=vy_1=v \dfrac {\sin x}x$$

Mas seu DE é simplesmente $$(xy)''+xy=0$$ E isso é fácil de resolver, pois é uma equação diferencial de ordem dois com coeficientes constantes. $$\implies r^2+1=0$$ $$\implies xy=c_1\cos x +c_2 \sin x$$ $$y(x)=\dfrac 1 x (c_1\cos x +c_2 \sin x)$$

Ou, conforme sugerido por @LutzLehmann no comentário, uma maneira muito melhor de resolver o DE é considerar: $$xy''+2y'+xy=1$$ $$(xy-1)''+(xy-1)=0$$ $$xy-1=c_1\cos x +c_2 \sin x$$ $$y(x)=\dfrac 1x(c_1\cos x +c_2 \sin x+1)$$

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Edit1

Com método Wronskian

Seu Wronskian não está correto $W \ne \dfrac 2x$: $$W= \exp \int - \dfrac 2 x dx=\dfrac 1 {x^2}$$ De modo a $$y_1y'_2-y'_1y_2=\dfrac 1 {x^2}$$ $$\left (\dfrac {y_2}{y_1} \right)'=\dfrac 1 {x^2}\dfrac {x^2}{\sin ^2 x}=\dfrac 1 {\sin^2 x}$$ $$y_2 = \dfrac {\sin x}{x} \int \dfrac {dx} {\sin^2 x}$$ $$y_2 = -\dfrac {\sin x \cot x}{x}$$ $$y_2 =- \dfrac {\cos x}{x}$$ A solução para a equação homogênea é: $$y(x)=c_1y_1+c_2y_2=\dfrac 1 x (c_1 \sin x+ c_2 \cos x)$$

Answer 2

Com a mudança de variáveis $v = xy$ obtemos a seguinte equação diferencial

$$v''+v = 1$$

que tem uma solução geral de

$$v = A\sin x + B\cos x + 1$$

o que significa a solução geral para $y$ É dado por

$$y = A\frac{\sin x}{x}+B\frac{\cos x}{x}+\frac{1}{x}$$

Se você deseja que a solução seja extensível para uma função suave em $0$, isso força $B=-1$

Answer 3

$$y''-\frac{2}{x}y'+y=0~~~(1)$$, E se $y_1=\frac{\sin x}{x}$ é uma solução de (1), então a outra solução $y_2(x)$ É dado por $$y_2(x)=y_1(x) \int \frac{e^{\int p(x) dx}}{y^2_1(x)}dx,~ p(x)=-2/x$$ $$\implies y_2(x)= \frac{\sin x}{x} \int \frac{1}{x^2}\frac{x^2}{\sin ^2 x} dx$$ Pode-se ignorar o multiplicativo $-$ Registrar-se para $y_2(x)$. $$\implies y_2(x)=\frac{\sin x}{x} \int \csc^2 x dx=-\frac{\cos x}{x}.$$ Para resolver a equação não homogênea $$Y''-\frac{2}{x}Y'+Y=\frac{1}{x}~~~(2)$$ o método de variação do parâmetro pode ser usado, o que requer $y_1(x), y_2(x)$, a solução de (2) é dada por $$Y(x)=C_1(x) y_1(x)+ C_2(x) y_2(x)~~~(3)$$ Onde $$C_1(x)=-\int \frac{y_2(x)/x}{W(x)} dx+D_1= \int \cos x dx+D_1=\sin x +D_1.$$ O Wronskian $W(x)$ do $y_1,y_1$ é $-1/x^2$. Da mesma forma, temos$$C_2=\int \frac{y_1(x)/x}{W(x)} dx+D_2=-\int \sin x dx+D_2=\cos x +D_2.$$ Inserindo, $y_1(x), y_2(x). C_1(x), C_2(x)$ em (3), temos $$Y(x)=\frac{1}{x}[D_1 \sin x+ D_2 \cos x]+\frac{1}{x}[\sin^2 x+ \cos^2 x].$$ $$\implies Y(x)=\frac{1}{x}[D_1 \sin x+ D_2 \cos x]+\frac{1}{x},$$que é a solução da ODE exigida (2). Para o método de variação de parâmetros, consulte:

https://en.wikipedia.org/wiki/Variation_of_parameters