Ruído de Nyquist e equilíbrio térmico

Question

Vamos dar dois resistores de elemento concentrado idênticos $R_1=R_2$ cujas capacidades de calor também são iguais e dadas $C_1=C_2$. Assumimos que os resistores estão ligados a termostatos, um na temperatura$T_1$ e o outro na temperatura $T_2$ mas $T_1 \ne T_2$. Agora separe os resistores de seus respectivos termostatos e conecte os resistores com uma linha de transmissão que tenha uma perda muito baixa (idealmente sem perdas), e de forma que seu condutor de metal também tenha uma condutividade térmica muito baixa (idealmente zero). Eu sei que isso é uma contradição para Wiedemann-Franz, mas presumo isso para fins de argumentação. Espero que, por causa do ruído de Nyquist emitido pelos resistores, eventualmente eles cheguem a uma temperatura comum e, uma vez que assumimos capacidades de calor iguais,$C_1=C_2$, a temperatura comum será $(T_1+T_2)/2$.

Agora, em algum lugar ao longo da linha de transmissão, cuja impedância de onda é $Z_0=R_1=R_2$ colocamos um filtro reativo sem perdas ideal e / ou transformador de impedância ideal ($I_2=I_1/N, V_2=NV_1$) Como o sistema se equilibrará se nem todas as frequências puderem passar pelo filtro (por exemplo, o transformador não funciona em$f=0$)? Qual é a equação que descreve o desenvolvimento da temperatura de cada resistor conforme as ondas de ruído são trocadas entre eles?

Answer 1

A potência térmica elétrica disponível em cada resistor é dada por kTB, onde k é a constante de Boltzmann, T é a temperatura em Kelvin e B é a largura de banda em Hertz através da qual o ruído é observado. A energia fluirá do resistor quente para o resistor frio a uma taxa k (T1-T2) B. O resultado será uma convergência exponencial em uma temperatura (T1 + T2) / 2 com uma constante de tempo C / kB.
A questão, claro, é o que assumir para a largura de banda B. O ruído elétrico térmico é aproximadamente constante até uma frequência de kT / h, onde h é a constante de Planck. Qualquer rede elétrica terá uma largura de banda muito menor do que essa. Você pode razoavelmente considerar B como a integral vs. frequência do coeficiente de transmissão de energia entre os dois resistores através do circuito que os conecta. As especificações de quais frequências são passadas e quais são interrompidas são imateriais, uma vez que a energia se equilibra rapidamente por meio de interações de elétrons, etc.