Santoitchi: Lotado?

Question

Santoitchi é mais um gênero envolvendo trominós. O nome parece significar Três e Um em japonês com um erro ortográfico deliberado (イ ッ チ em vez do usual イ チ para "um").

Aqui está um exemplo de quebra-cabeça com solução:

Regras:

1. Sombreie algumas células. As células sombreadas não podem compartilhar uma borda.
2. Divida as células não sombreadas em trominós (grupo contíguo de três células).
3. Cada trominó deve conter exatamente um número.
4. O número indica quantas células sombreadas compartilham uma borda com a região. (Não deve ser confundido com "quantas bordas da região são compartilhadas com células sombreadas")

Agora resolva o seguinte quebra-cabeça. Um ponto de interrogação representa um número entre zero (inclusive) e infinito.

_{Desculpe pela mudança do quebra-cabeça. Este é projetado em torno de uma "dedução fundamental" que eu tinha em mente. No entanto, logo após postar o quebra-cabeça original, percebi que há um caminho de solução bastante trivial e não intencional. O revisado elimina o caminho trivial (espero; pelo menos eu verifiquei, mas não consegui encontrar nenhum) e irá forçá-lo a encontrar a "dedução chave".}

Answer 1

A solução:

A "dedução chave" envolve

descobrir quantas células não estão sombreadas, ou seja, parte dos trominós, e quantas estão sombreadas. Existem 23 números na grade, o que significa que há 23 trominós na grade e, portanto, 69 células não sombreadas. A grade tem um total de 77 células, portanto, as restantes 77 - 69 = 8 devem ser células sombreadas.

Isso nos permite fazer nosso primeiro avanço:

Observe que 8 também é o número total de 2s na grade. Cada trominó com um 2 deve delimitar exatamente 2 células sombreadas, e a única maneira de fazermos isso funcionar nesta grade é se cada célula sombreada delimitar exatamente dois desses trominós. Isso nos força a desenhar os 2 trominós no centro superior e inferior como linhas com os 2s no meio, uma vez que qualquer outra colocação de trominó tornaria impossível que todas as células sombreadas fossem compartilhadas. Continuar ao longo da borda da grade usando o requisito de célula compartilhada nos dá esta etapa inicial:

(Observe também que separamos as células numeradas com bordas, pois cada trominó pode conter apenas um número.)

O restante do quebra-cabeça é bastante simples:

Só existe uma maneira de desenhar o trominó para o 0 em R5C7 e, depois disso, só existe uma maneira pela qual a célula R6C8 pode fazer parte de um trominó e assim por diante. Além disso, a célula R2C2 deve pertencer ao? trominó em R3C2, e este trominó também deve conter a célula R2C3, caso contrário, será inacessível. E a célula R2C6 tem que pertencer ao? tromino em R3C4:

E podemos finalmente terminar:

O 0 trominó em R3C4 só pode ser desenhado de uma maneira. Isso força o resto dos trominós a serem desenhados como tal, dando nossa solução final:

(Deixe-me saber se alguma etapa precisa ser elaborada mais adiante - após a dedução da chave, o resto das deduções parecia simples, mas pode haver algo não óbvio que eu perdi.)

Answer 2

Uma explicação alternativa da etapa de "dedução chave", para lógicos estritos:

Como HTM observou, a grade deve ter exatamente 8 células sombreadas, uma vez que temos 7 × 11 = 77 células no total e 23 × 3 = 69 células são cobertas por trominós.

Observe as posições dos 2, especialmente dos quatro 2 nos cantos. Observe que uma célula sombreada em qualquer lugar não pode compartilhar bordas com dois 2s diferentes nos cantos. Isso significa que todas as 8 células sombreadas devem fazer fronteira com um dos 2. O mesmo pode ser dito para os quatro 2 nas laterais.

Essa condição pode ser satisfeita de duas maneiras: crie quatro pares de 2 e deixe cada par compartilhar duas células sombreadas cada, ou crie um anel gigante ao redor do tabuleiro. Mas o primeiro não pode ser satisfeito porque os 2 no lado longo estão muito longe de ambos os cantos, então deve ser o último. O resultado é o seguinte, conforme apresentado na solução da HTM: