Separabilidade do kernel do operador compacto

Question

E se $T$é um operador compacto em um espaço de Hilbert, então seu alcance é separável, pois é um conjunto com fecho compacto. Mas o que posso dizer sobre o$\mbox{ker}(T)$conjunto? Também é separável? Em caso afirmativo, qual é o argumento para provar isso?

Tentei observar isso projetando $\overline{\mbox{range} (T)}$ sobre $\mbox{ker}(T)$, mas não consigo descobrir como construir uma sequência densa em $\mbox{ker}(T)$, então não sei se o resultado é verdadeiro ou falso

Answer 1

Claro, se o espaço de Hilbert $H$ é separável, então o kernel de $T$é automaticamente separável. Mas se$H$ não é separável então $\operatorname{ker} T$nunca é separável.

Por exemplo, o anexo $T^*$ também é compacto, e o complemento ortogonal de sua imagem (que é separável) é o núcleo de $T$. Se o kernel de$T$ fossem separáveis, então teríamos $H$ como a soma direta de dois subespaços separáveis.