Seqüência de Auslander-Reiten e capas projetivas

Question

Deixei $R$ seja um Artin álgebra e deixe $0 \to A \to B \to C \to 0$ ser uma sequência Auslander-Reiten de esquerda finitamente gerada $R$-módulos. É sempre verdade que a capa projetiva de$B$ é igual à soma direta da cobertura projetiva de $A$ e a capa projetiva de $C$? Muito obrigado.

Edit: Eu também gostaria de saber o seguinte.

Deixei $A \to B \to C$ ($B$pode ser uma soma direta de módulos indecomponíveis) ser uma malha em uma aljava de Auslander-Reiten. É verdade que a capa projetiva de$B$ é isomórfico à soma direta da cobertura projetiva de $A$ e a capa projetiva de $C$?

Muito obrigado.

Answer 1

Não pega $R=K[x]/(x^2)$ e $C=A=S$ o simples $R$-módulo. Então$0 \rightarrow S \rightarrow R \rightarrow S \rightarrow 0$ é a sequência Auslander-Reiten de $S$ e a capa projetiva de $R$ e $S$ é $R$.