Sheafification de presheaf constante

Question

Estou lendo sobre a sheafificação, mas é muito abstrato para mim. Estou tentando descobrir o exemplo de sheafificação de uma pré-capa constante e meu orientador me dá este exemplo:$X$ ser um espaço topológico e $A$ser um grupo abeliano. Deixei$\mathfrak{A}^+$ ser a pré-capa de funções contínuas, ou seja, $$\mathfrak{A}^+(U)=\{\alpha : U → A \text{ continuous}\}$$ Onde $A$ tem a topologia discreta, para cada conjunto aberto $U$. Existem 3 coisas que ele quer que eu mostre:

(1) $\mathfrak{A}^+$ é um feixe de grupos abelianos.

(2) Todos os talos $\mathfrak{A}^+_x=A$.

(3) O mapa natural $f : \mathfrak{A} → \mathfrak{A}^+$ do feixe constante induz um isomorfismo nas hastes

(1) é fácil, pois uma função é $0$ se for $0$localmente. Acho que (2) e (3) devem ser fáceis, pois não temos muitas informações, mas estranhamente não sei como usá-las.

Em (2), eu conheço os mapas $\mathfrak{A}^+(U)\to \mathfrak{A}^+(V)$ quando $V\subseteq U$é apenas restrição. Por definição, o talo$\mathfrak{A}^+_x=\varinjlim_{x\in U} \mathfrak{A}^+(U)$. Mas como você converte a definição (grupo de funções contínuas) para$A$? Eu até sinto que faltam informações aqui, já que nem conhecemos a estrutura dos conjuntos abertos em$X$, e não vejo nenhum mapa natural do limite direto para $A$.

(3) é ainda mais ambíguo para mim. Dizer$U$está aberto. Como você mapeia naturalmente um elemento em$A=\mathfrak{A}$, para uma função $U\to A$ dentro $\mathfrak{A}^+$? Eu sei que os mapas satisfazem um diagrama, então$f_U(a)|_V=f_V(a)$ Onde $V\subseteq U$são conjuntos abertos. De acordo com (2), as hastes de ambos são$A$, mas não acho que o mapa induzido seria a identidade, então fica mais difícil para mim entender por que isso é uma iso.

Sou apenas um iniciante em geometria algébrica, então essas questões podem ser óbvias. Obrigado.

Answer 1

(1) Muito mais geralmente (e, portanto, muito mais fácil!):
Dado um espaço topológico arbitrário$Y$ há um feixe $\mathcal C_Y$ em $X$ caracterizado pela exigência de que, para qualquer subconjunto aberto $U\subset X$ temos $\mathcal C_Y(U)=\mathcal C(U,Y)$, o conjunto de funções contínuas $U\to Y$.
Seu$ \mathfrak A^+$ é exatamente o feixe $\mathcal C_A$, Onde $A$ é dotado de topologia discreta.

(2) Temos um morfismo de grupos abelianos $i:\mathcal C_{A,x}\to A$ definido como segue: dado um germe $\gamma\in \mathcal C_{A,x}$ nós o representamos por alguma função contínua $g:U\to A$ e nós definimos $i(\gamma)=g(x)$.
Este morfismo é um isomorfismo, pois tem como inverso explícito o morfismo de grupo$j:A\to \mathcal C_{A,x}$ enviando $a\in A$ para $j(a)= \operatorname [{const}(a)]_x$, o germe em $x$ da função constante $\operatorname {const}(a): X\to A$ enviando qualquer ponto de $X$ para $a$.

(3) Para qualquer bairro $U\subset X$ do $x$ o mapa $\mathfrak A(U)=A \to \mathcal C_A(U): a\mapsto \operatorname {const}(a)$ é claramente injetivo e, portanto, tomando limites diretos do mapa $f: \mathfrak A_x\to \mathcal C_{A,x}$também é injetivo.
Surjetividade também é fácil: na notação de (b) um germe$\gamma=[g]_x\in \mathcal C_{A,x}$ é a imagem sob $f$ do germe $[\operatorname {const}(g(x))]_x\in \mathfrak A_x$.
E assim nós provamos que o morfismo$f: \mathfrak A_x\to \mathcal C_{A,x}$ é de fato bijetivo.