Singularidade de uma equação funcional?

Question

TL; DR. Estou tentando entender porque o parâmetro$\beta$ na medida de Gibbs é o inverso da temperatura $1/T$ no contexto térmico dinâmico.

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No espaço de bijeções suaves (difeomorfismos) de $(0,\infty)$ para $(0,\infty)$, a função

$$ x \mapsto \frac{1}{x}$$

satisfaz a equação funcional

$$ \frac{\phi(x) + \phi(y)}{2} = \phi(\frac{2xy}{x+y}).$$

De fato,

$$ \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{2} = \frac{x+y}{2xy}.$$

Questão

Esta é a única solução?

Tentativas e motivação

Eu usei algumas técnicas ... como investigar limites, encontrar valores especiais ou diferenciar $x\phi(x)$.. etc. Esta questão vem da mecânica estatística. Isso vai me ajudar a entender, depois de aceitar que a medida de Gibbs

$$ \mu(s) \sim exp(-\beta s) $$

é natural, porque o parâmetro $\beta$ introduzido a partir do método do multiplicador de Lagrange corresponde naturalmente ao inverso da temperatura $\frac{1}{T}$ no contexto térmico dinâmico.

Answer 1

Dicas para encontrar $\phi$: Diferencie o wrt $x$ para obter $\frac 1 2 \phi'(x)=\phi '(\frac {2xy} {x+y}) \frac {2y^{2}} {(x+y)^{2}}$. Agora coloque$x=1$ para obter $ \phi '(\frac {2y} {1+y})$. Colocar$t=\frac {2y} {1+y}$ e você vai conseguir $\phi'(t)$ para cada $t \in (0,1)$.

Tratando $\phi'(1)$ como qualquer constante $c$, então você terá

$$t^2 \phi'(t) = c.$$

Por teorema do valor médio, $\phi(t) = c/t$ são as únicas soluções.