sistema de equações lineares com parâmetro sobre $\mathbb{R}$ e $\mathbb{Z_5}$

Question

temos um sistema de equações lineares como: $$ x+2y+(a-1)z=1\\-x-y+z=0\\-ax-(a+3)y-az=-3\\-ax-(a+2)y +0\cdot z=a^2 -5a-2$$

e eu tenho que encontrar a solução em $\mathbb{R}$ e $\mathbb{Z_{5}}$ então eu não tenho nenhum problema para $\mathbb{R}$ eu entendi a matriz $$ \left(\begin{matrix} 1 & 2 & a-1 & 1 \\ 0 & 1 & a & 1 \\ 0 & 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a & a^2-5\cdot a \end{matrix}\right)$$ mas as perguntas que tenho são as seguintes:

1. posso usar o que encontrei para a matriz aumentada e a discussão por parâmetro a em $\mathbb{R}$ deduzir $\mathbb{Z_5}$?

2. ou há alguma outra maneira que devo reduzir para a forma escalonada de linha para $Z_5$ e, em seguida, discutir o parâmetro a?

1. Se eu tivesse um sistema 3x3 ou 4x4 para resolver sobre um primo baixo $\mathbb{Z_{p_{1}}}$ e $\mathbb{Z_{p_{2}}}$ (por exemplo, 5 e 7) como eu faria isso com a eliminação da matriz gauss? poderia usar a mesma matriz aumentada e reduzi-la ao escalão de linha acima $\mathbb{R}$ e então usar essa matriz aumentada para o resto como acima ou não?

4.Se bem me lembro, havia um teorema sobre a classificação da matriz original e aumentada que diz algo sobre o número de soluções, mas não me lembro como isso me ajudaria a encontrar soluções apenas eliminar os a's onde não há nenhum?

Answer 1

Se ao produzir a forma escalonada, você usou apenas multiplicação ou divisão por inteiros, desde que nunca dividido por um múltiplo de $5$, as mesmas etapas produziriam a forma escalonada sobre $\mathbb{Z}_5$.

Supondo que seja esse o caso, o sistema acabou $\mathbb{Z}_5$tem solução se e somente se a última coluna não for pivô. Precisamos distinguir os casos$a\ne0$ e $a=0$. E se$a\ne0$, você pode prosseguir com a eliminação de Gauss para \ begin {pmatrix} 1 & 2 & a-1 & 1 \\ 0 & 1 & a & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix} e a última coluna é uma coluna dinâmica.

E se $a=0$, a matriz é \ begin {pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix} e o sistema tem soluções, com$z$ sendo uma variável livre (então cinco soluções distintas).

Answer 2

Sua matriz $M=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & a-1 \\ 0 & 1 & a \\ 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & a \cdot a \end{matrix}\right)$ é um elemento de $M_{4\times 3}(\Bbb{Z}[a])$ Onde $\Bbb{Z}[a]$ é um anel de polinômios no indeterminado $a$, seu pseudo-inverso é um elemento $N$ do $M_{3\times 4}(\Bbb{Z}[a,\det(M^\top M)^{-1}])$

Onde $\det(M^\top M)^{-1}$ é uma função racional em $a$.

A questão é se $p=5$ tem um inverso nesse anel $\Bbb{Z}[a,\det(M^\top M)^{-1}]$. Se não, então (a imagem natural de)$N$ é o pseudo-inverso de $M$ ambos acabados $\Bbb{R}[a])$ e $\Bbb{F}_p[a]$.

Em seguida, você pode substituir $a$ por qualquer elemento $c$ do campo de tal forma que $\det(M_{a=c})$ não é $0$, o pseudo-inverso de $M_{a=c}$ será $N_{a=c}$.