Solução explícita para equações do tipo Bessel

Question

Eu queria saber se alguém pode resolver explicitamente a seguinte equação $$ x^2 y'' + x y' + k^2 x^2 (x^\beta+1) y = a^2 y $$ para constantes reais $k,a,\beta$? E se$\beta = 0$ então a solução é uma combinação linear de Bessel $Y_a$ e $J_a$.

Answer 1

Exceto por $\beta=2$, Não creio que possamos ter soluções explícitas.

Para aquele caso específico

$$y=2^{\frac{a+1}{2}} x^a e^{\frac{1}{2} i k x^2} \left(c_1\, U\left(\frac{2 a-i k+2}{4} ,a+1,-i k x^2\right)+c_2\, L_{-\frac{2 a-i k+2-2}{4} }^a\left(-i k x^2\right)\right)$$

Answer 2

Presumir $k\neq0$ para os casos-chave

$x^2y''+xy'+k^2x^2(x^\beta+1)y=a^2y$

$x^2y''+xy'+(k^2x^2(x^\beta+1)-a)y=0$

Qual é uma versão mais generalizada em comparação com a equação diferencial de Bessel

Alguns casos especiais:

$\beta=0,-2$ : conversível para Bessel ODE

$\beta=-1,2$ : conversível para degenerado ODE hipergeométrico

$\beta=-4$: semelhante a Hunt para soluções exatas de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem com coeficientes variáveis. e pode reduzir à equação de Heun duplamente confluente