Soma do produto dos coeficientes binomiais

Question

Eu gostaria de calcular a seguinte soma: $$ \sum_{k=0, \, k =odd}^{\min\{2n, m\}} {2n \choose 2n-k}{2m-2n \choose m-k} $$ Até agora posso provar que $$ \sum_{k=0, \, k =odd}^m {2n \choose 2n-k}{2m-2n \choose m-k}=\frac 12 {2m \choose m}+(-1)^{m+1}2^{2m-1}{n-\frac 12 \choose m}. $$ que pode ser comprovado dividindo a soma como $$ \sum_{k=0, \, k =odd}^m {2n \choose 2n-k}{2m-2n \choose m-k}= \frac 12 \sum_{k=0}^m {2n \choose 2n-k}{2m-2n \choose m-k}-\frac 12 \sum_{k=0, }^m (-1)^k{2n \choose 2n-k}{2m-2n \choose m-k} $$ e calcular a primeira soma usando a identidade Chu-Vandermond e a segunda - usando a noção de coeficiente-extrator.

Não tenho certeza de como proceder quando o limite superior do somatório é $\min\{2n,m\}$.

Answer 1

Mathematica me diz que

$$\sum_{k=0, \, k =\text{odd}}^{2n} {2n \choose 2n-k}{2m-2n \choose m-k}=2 n \binom{2 m-2 n}{m-1}+\binom{2 m-2 n}{m}$$ $$\qquad+ \, _4F_3\left(\frac{1}{2}-\frac{m}{2},1-\frac{m}{2},\frac{1}{2}-n,1-n;\frac{3}{2},\frac{m}{2}-n+1,\frac{m}{2}-n+\frac{3}{2};1\right).\qquad(1)$$

Além disso, $$\sum_{k=0, \, k =\text{odd}}^{m} {2n \choose 2n-k}{2m-2n \choose m-k}=\binom{2 m-2 n}{m}$$ $$\qquad+\frac{2^{2 m-1}}{m!} \left(\frac{\Gamma \left(m+\frac{1}{2}\right)}{\sqrt{\pi }}-\frac{\Gamma \left(m-n+\frac{1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{1}{2}-n\right)}\right), \qquad(2)$$ que difere da resposta $\frac 12 {2m \choose m}+(-1)^{m+1}2^{2m-1}{n-\frac 12 \choose m}$fornecido no OP.
_{Por exemplo, para$n=1,m=2$, ambos os lados esquerdo e direito da equação (2) avaliam 5, enquanto a resposta no OP avalia 4.}