Subgrupo de GL(2,$\mathbb C$)

Question

Preciso de um exemplo de um grupo finito que não seja isomórfico a um subgrupo de GL(2,$\mathbb C$).

Eu sei que todo grupo cíclico é um subgrupo, mas um exemplo concreto de um grupo finito que não é um subgrupo de GL(2,$\mathbb C$) está iludindo meus cálculos. Por favor, dê um exemplo se houver um. Obrigada.

Answer 1

$C_2\times C_2\times C_2$é o menor desses grupos. Para ver isso, observe que os subgrupos abelianos de$\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$são diagonalizáveis. Assim se$G$é um subgrupo abeliano de$\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$então$G$é gerado por no máximo$n$elementos.

Answer 2

Pegue um grupo sem caráter não trivial de grau$\le2$, por exemplo$A_5$.