Supremum de $\sin(x) + \sin(\varphi x)$

Question

Deixei $\varphi$ser a proporção áurea. Qual é o supremo de$f(x)=\sin(x) + \sin(\varphi x)$?

Minha ideia era que podemos considerar a sequência de funções $f_n(x) = \sin(x) + \sin(\frac{F_{n+1}}{F_n} x)$ para os números de Fibonacci $F_n$, que converge para $f(x)$. A sequência$\{x_n\}_{n \geq 1}=F_n \pi + a_n$ satisfaz $f_n(x_n) = \sin(a_n) + \sin(F_n a_n)$, de modo que, se escolhermos o correto $a_n$, então $f_n(x_n) =2$ $\forall n$; que muda o problema para um número inteiro em vez de$\varphi$, mas não tenho certeza de onde prosseguir a partir daqui.

Answer 1

Claramente, o máximo é limitado acima por $2$, como cada $\sin$ tem no máximo $1$.

Você obtém o máximo para a primeira função quando $\sin x = 1$ ou $x = 2 \pi k_1 + \pi/2$ para algum inteiro $k_1$, e da mesma forma quando $\sin (\phi x) = 1$ ou $\phi x = 2 \pi k_2 + \pi/2$. Um pouco de manipulação dá:

$$k_1 = \frac{k_2}{\phi} - \frac{\phi - 1}{4 \phi}$$

Porque $\phi$ não é racional, não se pode resolver esta equação exatamente para $k_1$ e $k_2$. No entanto, você pode aproximar isso arbitrariamente escolhendo$k_2$ extremamente grande (por exemplo, $10^{1000}$), e resolvendo para $k_1$. Desta forma, você pode chegar o mais perto de$f(x) = 2$ Como você quiser.