“Tão infinitamente quanto ...”?

Question

A seguinte frase é do meu livro de matemática discreta:

Cada número racional tem infinitas representações como uma razão.

Isso está correto? Existem vários graus de infinitamente muitos , ou estou entendendo mal?

Answer 1

Está formulado incorretamente. O que seria correto é:

Cada número racional tem infinitas representações distintas como uma proporção de inteiros.

Pelo menos em inglês americano, não acho que seja tão claramente expresso quanto possível. O significado é

Cada número racional pode ser representado por qualquer um de um número infinito de frações com inteiros no numerador e denominador.

Um matemático pode dizer que

Um número racional pode ter múltiplas representações, mas pode ser expresso exclusivamente em termos mais baixos como p / q, onde q é um inteiro positivo, p é um inteiro e p e q não compartilham fatores primos.

A ideia é que 1/3, 18/54, -12 / (- 4) são três das infinitas representações do mesmo número que podem ser expressas simplesmente como 1/3.

Answer 2

"Cada número racional tem tantas representações infinitas quanto uma razão." Existem, de fato, graus de "infinitamente muitos ", como Georg Cantor (1845-1918), o "pai da teoria dos conjuntos" mostrou. Um conjunto de números possui uma cardinalidade , ou seja, um número que é a contagem de seus elementos (seus membros). Isso se aplica a conjuntos de números com membros 'infinitos', mesmo que não possamos contá-los. A cardinalidade do conjunto de inteiros (dos quais há um número infinito) é a mesma do conjunto de números racionais, que, na teoria dos conjuntos de Cantor, é chamada de ℵ0 ( aleph zero ou aleph null ). Cantor mostrou que o conjunto de números reais, que também tem um número 'infinito' de membros, tem uma cardinalidade maior (há mais deles), (não vou mostrar como ele fez isso aqui), que é chamado de ℵ1 ( aleph um ). Este caractere ℵ é Aleph, a primeira letra do alfabeto hebraico.

Cardinalidade (conjuntos infinitos)