The Two Envelope Game Show
Este é um enigma original que fiz, fortemente inspirado no problema dos Dois Envelopes . Tenho minha resposta para esse problema, mas (divulgação completa) nem mesmo estou 100% certo de que acertei. Posto metade porque me parece muito interessante e metade porque quero ver se os outros concordam com meu raciocínio. Aproveitar.
-
Jack é convidado para um novo game show apresentado por seu apresentador de game show favorito, Monty Hall. Para começar, Monty dá as boas-vindas a Jack e mostra a ele o que há de mais moderno em tecnologia revolucionária dos anos 1970, um caça-níqueis! Mas não qualquer slot machine. Quando um envelope de “aposta” contendo dinheiro ou cheque é colocado na frente deste dispositivo e a alavanca é puxada, ele irá analisá-lo e dispensará um envelope de “recompensa”. 50% das vezes, o envelope de recompensa conterá o dobro do valor do que estava no envelope de apostas, e os outros 50% das vezes conterá apenas metade do valor de tudo o que estava no envelope de apostas. Verdadeiramente uma maravilha de todos os tempos.
Monty entrega Jack \$100 in \$10 notas de dólares e pergunta se ele quer apostar e jogar na máquina. Tendo estudado algumas estatísticas básicas para se preparar para vir para cá, Jack está pronto para ganhar o máximo de dinheiro possível e repassa algumas contas de cabeça. Ele percebe que se ele apostar$10, half the time he wins \$20, a outra metade \$5. This gives him an expected value for each game he plays of \$12,50.
(\$20 * 0.5) + (\$5 * 0,5) = \ $ 12,50
Esta máquina está praticamente imprimindo dinheiro!
Jack joga 10 vezes, ganhando 5 jogos e perdendo 5 jogos, dando a ele $ 125. Grato que o estudo de estatísticas finalmente valeu a pena, ele está prestes a sair quando Monty anuncia que Jack ganhou o direito de jogar o jogo bônus contra Kirby, o odiado rival de Jack desde seus tempos de colégio!
Um carrinho contendo 20 envelopes lacrados é trazido. Monty explica que cada envelope contém um cheque com um valor que é um múltiplo de \$2. The prizes are \$2, \$4, \$8, \$16, and so on doubling each time, up to the most valuable envelope containing \$1.048.576. Jack escolherá um desses envelopes aleatoriamente e deixará a máquina caça-níqueis analisá-lo.
O jogo é jogado da seguinte forma: Jack receberá o que estiver no envelope de aposta original, enquanto Kirby receberá o envelope de recompensa. Cada um deles terá permissão para abrir seu próprio envelope e ver o que está dentro, mas não poderá contar ao outro jogador. Eles então têm a opção de trocar pelo envelope da outra pessoa. Se ambos os jogadores concordarem em negociar, os envelopes são trocados. Se algum deles não quiser negociar, os dois apenas guardam o envelope com o qual começaram.
Jack pega um envelope aleatório entre os 20, deixa a máquina analisá-lo e depois o abre para encontrar \ $ 512. Ele se lembra de como ganhou dinheiro jogando nesta máquina mais cedo e pede ansiosamente para trocar os envelopes com Kirby, pois sabe que o envelope de recompensa sempre tem um valor esperado melhor.
Enquanto isso, Kirby abre o envelope de recompensa e encontra \ $ 256. Kirby pensa que existem apenas duas possibilidades, ou Jack tem \$128 and the machine doubled it, or Jack has \$512 e a máquina corta ao meio. Segundo as regras deste jogo, esses dois cenários têm a mesma probabilidade de acontecer. Em outras palavras, é uma tomada 50/50 para qual desses dois cenários ocorreu. Isso significa que seu valor esperado para negociação é \$320, which is more than the \$256 ele tem.
(\$512 * 0.5) + (\$128 * 0,5) = \ $ 320
Kirby aceita a troca e os dois vão embora com a sensação de que levaram a melhor.
Algum deles cometeu um erro?
Respostas
Acho que a resposta é ...
Ambos estão errados.
Porque
Normalmente, Jack deve oferecer uma troca se tiver certeza de que a troca será aceita de qualquer maneira. Mas este não é o caso.
Jack pega um envelope com um valor entre$2^1$ e $2^{20}$. Kirks recebe um envelope entre$2^0$ e $2^{21}$.
Se Kirby encontrar$2^{20}$ ou $2^{21}$ele saberá que tem o envelope mais alto e não proporá uma troca.
Se Jack vir$2^{19}$ ou $2^{20}$ele pode esperar que o outro envelope seja mais valioso, em média, e proporá uma troca.
Mas espere! Se Kirk realmente tem o envelope mais alto,$2^{20}$ ou $2^{21}$, ele se recusará a trocar. A única maneira de a troca ser aceita é se Kirby tiver o envelope inferior. Portanto, Jack não deve se oferecer para trocar um$2^{19}$ ou $2^{20}$.
Assim que Kirby descobrir isso, ele saberá que se conseguir um$2^{18}$ ou $2^{19}$ Jack não vai trocar o seu $2^{19}$ ou $2^{20}$. A única maneira de a troca ser aceita é se Jack estiver com o envelope inferior. E, portanto, Kirby deve segurar seu$2^{18}$ ou $2^{19}$.
E assim por diante, até o fim.
O resultado é que independentemente da quantia (exceto talvez \ $ 1) nem Jack nem Kirby devem propor a troca.
Não é um paradoxo como no paradoxo do enforcamento inesperado porque no final, quando um jogador vê \ $ 1 ou \ $ 2, ele sabe que é o envelope menor, ele proporia uma troca, mas ela seria recusada. Não há paradoxo, só temos um jogador que sabe que tem o envelope menor, mas não pode fazer nada a respeito.
Acho que a resposta é ...
Ambos os cálculos estão corretos. O aparente paradoxo não é realmente um paradoxo; é apenas uma diferença de estimativas entre duas partes devido à incompletude das informações .
Análise:
Jack recebe uma escolha uniformemente aleatória entre 20 envelopes possíveis, e a máquina caça-níqueis pode produzir o dobro ou a metade da entrada com a mesma probabilidade. No total, toda a situação será um dos 40 resultados igualmente prováveis:$$ \begin{array}{c|cc}\text{Jack} & \text{Kirby(Halve)} & \text{Kirby(Double)} \\\hline 2 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 8 \\ 8 & 4 & 16 \\ 16 & 8 & 32 \\ 32 & 16 & 64 \\\hline 64 & 32 & 128 \\ 128 & 64 & \bbox[yellow]{256} \\ 256 & 128 & 512 \\ \bbox[yellow]{512} & \bbox[yellow]{256} & 1024 \\1024 & 512 & 2048 \\\hline 2048 & 1024 & 4096 \\ 4096 & 2048 & 8192 \\ 8192 & 4096 & 16384 \\16384 & 8192 & 32768 \\ 32768 & 16384 & 65536 \\\hline 65536 & 32768 & 131072 \\131072 & 65536 & 262144 \\ 262144 & 131072 & 524288 \\ 524288 & 262144 & 1048576 \\1048576 & 524288 & 2097152\end{array}$$
A única informação disponível para Jack é que ele tem \ $ 512, então, na visão de Jack, o valor esperado do envelope de Kirby é de fato $ (256 + 1024) / 2 = 640> 512 $ .
A única informação disponível para Kirby é que ele tem \ $ 256, então, na visão de Kirby, o valor esperado do envelope de Jack é de fato $(128+512)/2 = 320 > 256$. Para ser mais seguro, podemos avaliar as probabilidades condicionais:
$$\begin{align}P(J=512 \mid K=256) &= \frac{P(J=512 \wedge K=256)}{P(K=256)} = \frac{1/40}{2/40} = \frac12 \\P(J=128 \mid K=256) &= \frac{P(J=128 \wedge K=256)}{P(K=256)} = \frac12\end{align}$$
Portanto, concluímos que ambos os cálculos estavam corretos; Jack teve azar e Kirby teve sorte desta vez. Observe que não há nada de errado em perder dinheiro em um teste quando se espera que você ganhe dinheiro (o valor esperado é apenas uma média esperada em um grande número de testes). Observe também que Kirby se recusará a trocar se ele tiver \ $ 1048576 ou superior.
Revisado para incluir um caminho recursivo para uma perspectiva do resultado de uma situação que não ocorreu.
Algum deles cometeu um erro?
Essa questão é mais interessante do que o resto desta frase, mas, simplesmente,. . . .
. . . não, nenhum dos jogadores cometeu um erro, mas apenas devido à sorte de seus envelopes terem \$512 and \$256 junto com o fato de que. . . .
. . . Jack (J) e Kirby (K) não são lógicos perfeitos e ambos tinham estratégias abaixo do ideal.
Assim sendo, . . . .
. . . ambos estavam destinados a oferecer swap com esses valores de \ $ e, ainda, ambos calcularam corretamente seus ganhos esperados probabilisticamente,. . .
. . . o que fica claro na explicação de Bubbler .
O jogo teria um resultado diferente, no entanto, se os dois jogadores fossem lógicos perfeitos e soubessem isso um do outro.
Cenário: J e K são lógicos perfeitos mutuamente conhecidos
Nesse cenário, uma troca nunca ocorreria, pois J nunca ofereceria uma.
Um exemplo reduzido demonstra como isso funcionaria com 10 envelopes geminados que permitem cálculos claros.
Dois envelopes de apostas cada um de \ $ 2, \$4, \$8, \$16 and \$32 para Jack.
Prob- Jack Kirby
habilidade (J) (K)
.1 $2 $1 (apenas uma maneira de K ter $ 1)
.1 $2 $4
.1 $4 $2 (apenas uma maneira de K ter $ 2)
.1 $4 $8
.1 $8 $4 (2 maneiras cada para K ter $ 4, $ 8 ou $ 16)
.1 $8 $16
.1 $16 $8
.1 $16 $32 (apenas uma maneira de K ter $ 32)
.1 $32 $16
.1 $32 $64 (apenas uma maneira de K ter $ 64)
K não vai oferecer uma troca em $32 or $64 como tais trocas, certamente perderiam dinheiro.
O modelo de cada jogador do outro jogador inclui incerteza que borbulha recursivamente até as duas possibilidades que K tem \$32 or \$64 e não ofereceria para trocar. Se ambos os jogadores tivessem assumido que um ao outro veria como isso funciona, essas duas possibilidades teriam influenciado a possibilidade de que ocorresse.
Suponha que J tenha o mínimo \$2 and considers two models of K, one model where K has \$1 e o outro onde K tem \$4. J muses that the possible K who has \$4 também consideraria dois modelos de um possível J, onde J tem ou \$2 or \$8. Realizar isso produz um sistema de raiz recursivo semelhante a um fractal de modelos que se sobrepõe para formar uma rede infinita cuja borda direita termina em um dos dois modelos de um K possível que tem ou \$32 or \$64 e não se oferecerá para trocar.
J tem $ 2
/ \
/ \
/ \
/ \
$2 J's model of K has $1 $2 J's model of K has $4
\ / \
\ / \
\ / \
$2 J's model of \ / \ $1 /$4 K's model of J has $2 $2 J's model of $O modelo de J de 4 K tem $ 8
/ \ / \
/ \ / \
/ \ / \
/ \ / \
... modelo de K tem $1 ..K has $4 $2 J's model of $Modelo de 4 K de
\ / \ / \ $ 8 J's modelo de
\ / \ / \ K tem $ 16
\ / \ / \
\ / \ / \
... do modelo de K de J tem $2 ..J has $8 $2 J's model of $Modelo de 4 K de
/ \ / \ / \ $ 8 modelo J's de
/ \ / \ / \ $ 16 K's modelo de
/ \ / \ / \ J tem $ 32
/ \ / \ / \
... modelo de K tem $1 ..K has $4 .. K tem $16 $Modelo de 2 J de $ 4 K
\ / \ / \ modelo de $ 8 J's
\ / \ / \ modelo de $ 16 K's
\ / \ / \ modelo de $ 32 J's
\ / \ / \ modelo de K tem $ 64
\ / \ / \ e não troca
\ / \ / \
... do modelo de K de J tem $2 ..J has $8 $2 J's model of $Modelo de 1 / $ 4 K de
/ \ / \ / \ $2/$Modelo de 8 J de
/ \ / \ / \ $4/$Modelo de 16 K de
/ \ / \ / \ $8/$Modelo de 32 J de
/ \ / \ / \ $ 16 K's modelo de
/ \ / \ / \ J tem $ 32
/ \ / \ / \
... modelo de K tem $1 ..K has $4 .. K tem $16 $Modelo de 2 J de $1/$4 K's
\ /\ /\ Modelo de $2/$8 J's
\ / \ / \ Modelo de $4/$16 K's
Modelo de $8/$32 J's
\ / \ / \ modelo de $ 16 K's
modelo de $ 32 J's
\ / \ modelo de K tem $ 64
e não vai trocar
\
No primeiro ramo mais à direita, o modelo de J de \$4 K's model of \$Modelo de 8 J de \$16 K's model of \$32 J's model de K has \$64 and certainly won't swap. This lattice of a tree includes half of all possibilities for the \$ quantidade que J pode ter enquanto todos os ramos terminais têm K não trocando pelo mesmo motivo.
A outra metade de todas as quantidades possíveis de J estão incluídas em uma estrutura semelhante, espalhando-se de um suposto J tendo \$4, where all terminal branches consider a model of K who has \$32 e também não trocaria. Portanto, J não tem motivo para oferecer uma troca.
O raciocínio reverso a partir daqui foi apresentado na postagem original desta resposta e, reconhecidamente, é paralelo ao raciocínio de Florian F postado anteriormente ).
Aqui estão os ganhos e perdas probabilísticas da perspectiva de cada jogador se os jogadores trocarem a cada chance quando K tiver \$32 or \$64
Expectativa probabilística, expectativa probabilística,
oferecendo troca oferecendo somente troca
Prob J toda vez NET Prob K para quantidades menores NET
.2 $2 (1+4)/2 = $2,5 +$.5 .1 $1 2 = $2 +$1
.2 $4 (2+8)/2 = $5 +$1 .1 $2 4 = $4 +$2
.2 $8 (4+16)/2 = $10 +$2 .2 $4 (2 + 8) / 2 = $5 +$1
.2 $16 (8+16)/2 = $12 -$4 .2 $8 (4 + 16) / 2 = $10 +$2
.2 $32 (16+32)/2 = $24 -$8 .2 $16 (8 + 32) / 2 = $20 +$4
.1 $32 32 = $32 0
Médias ponderadas \ _ _ _ _ _ _ _ _ .1 $64 64 = $64 0
$12.4 $10,7 -$1.7 $15,5 $17.2 +$1,7
As linhas para J's \$16 and \$32 e as linhas para K's \$32 and \$64 refletem que K não está oferecendo uma troca em \$32 or \$64
Prob J Expectativa NET Prob K Expectation NET .2 $16 (8+ 16 )/2 = $12 -$4 .1 $32 32 = $32 0 .2 $32 (16+ 32) / 2 = $24 -$8 .1 $64 64 = $64 0 / \ ________ / \ / \ _____ / \ Sem troca se K tiver $32 or $64 significa que J's $16 and $32 junto com K's $32 and $64 permanecem inalterados quando J se oferece para trocar, mas K não.
Assim, J pode esperar probabilisticamente perder dinheiro se J imprudentemente oferecer um swap em \$16 or \$32 enquanto K sabiamente não at \$32 or \$64. Como cada jogador é um lógico perfeito bem conhecido, J não ofereceria uma troca em \$16 or \$32 e K saberiam disso. Isso, por sua vez, produz expectativas negativas para K onde K oferece um swap em \$8 or \$16
Prob J Expectativa NET Prob K Expectation NET .2 $16 16 = $16 0 .2 $8 (4+ 8 )/2 = $6 -$2 .2 $32 32 = $32 0 .2 $16 (8+ 16) / 2 = $12 -$4 / \ ______ / \ / \ _______ / \ Sem troca se J tiver $16 or $32 significa que J's $16 and $32 junto com K's $8 and $16 permanecem inalterados quando K oferece a troca, mas J não.
Assim, K também não oferecerá uma troca em \$8 or \$16. Esta gangorra de expectativas decrescentes em cascata ao longo de todo o \$ amounts to where K has nothing to lose by offering a swap only at \$1 ou \$2, but why even bother as K knows that J won’t offer to swap at any \$ montante.
Acho que há uma solução alternativa mais simples aqui, com base nas suposições feitas pela resposta existente.
Observe que a resposta existente pressupõe um jogo perfeito e os jogadores podem racionalizar para o outro (e cada jogador assume que o outro está jogando perfeitamente). Com essas suposições, podemos simplificar: Se uma das pessoas recebe uma oferta, é porque a outra deduziu que a troca produzirá um valor esperado mais alto. Portanto, eles nunca devem aceitar uma troca!