Transformada de Fourier da função de Bessel

Question

Recebo uma representação integral da Função de Bessel $J_0$ do seguinte modo: $$J_0(x)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}{e^{ix\cos\theta}d\theta}$$

Para calcular a transformada de Fourier, considere a integral: $$\mathscr F(J_0(x))=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}{e^{ix\cos\theta}d\theta}\cdot e^{-ikx}dx$$ Combinando os integrais e trocando a ordem de integração: $$\mathscr F(J_0(x))=\frac{1}{4\pi^2}\int_0^{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{ix\cos\theta-ikx}dx}d\theta$$ Descobrimos que a integral interna é uma Função Delta: $$\mathscr F(J_0(x))=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}{\delta(\cos \theta-k)}d\theta$$ Aplicando uma substituição em U $u=\cos \theta - k$, $u(0)=-k$, $u(2\pi)=-k$e é aqui que estou preso: os limites da integral agora são iguais. Eu cometi um erro em algum lugar, ou preciso considerar um intervalo infinitesimal em torno$-k$? Se sim, como faço isso exatamente?

Answer 1

Usando

$$\delta(f(x)) = \sum_{f(x_i)=0}\frac{1}{|f'(x_i)|}\delta(x-x_i)$$

nós entendemos isso

$$\mathcal{F}\Bigr\{J_0(x)\Bigr\} = \frac{1}{2\pi}\left(\frac{1}{\left|\sin\Bigr(\cos^{-1}(k)\Bigr)\right|}+\frac{1}{\left|\sin\Bigr(2\pi-\cos^{-1}(k)\Bigr)\right|}\right) = \frac{1}{\pi}\frac{1}{\sqrt{1-k^2}}$$