Treliças sobre módulos

Question

A construção padrão de treliças em $\mathbb{R}^n$ pode ser generalizado tomando qualquer espaço vetorial de dimensão finita $V$ sobre um campo $F$ e um subring $R$ do $F$, de acordo com a Wikipedia (https://en.m.wikipedia.org/wiki/Lattice_(group).

Existe alguma razão para que apenas espaços vetoriais de dimensão finita sejam considerados aqui, e não módulos livres de classificação finita? A rede ainda deve formar um subgrupo aditivo, e eu acho que a propriedade das bases para dar redes isomórficas também deve ser a mesma. Existe alguma propriedade importante que se perdeu com essa generalização adicional que estou perdendo?

Answer 1

Uma propriedade importante da teoria das redes é o produto interno que você obtém de $\mathbb{R}^n$, bem como objetos relacionados, como o volume.

Muitos dos teoremas interessantes e úteis vêm da interação entre as estruturas algébricas e geométricas, por exemplo, o teorema de Minkowski e sua aplicação à geometria dos números. A geometria também é importante para suas aplicações em criptografia , uma vez que é necessária uma norma para falar sobre coisas como o problema do vetor mais curto.

Uma definição equivalente para reticulados é defini-los como $\mathbb{Z}$módulo equipado com uma forma quadrática. A seguinte generalização aparece na página 3 de "Lattices and Codes" de Ebeling.

Definição: Let$R$ser um anel comutativo com unidade. Um módulo de forma bilinear simétrico$(S,b)$ sobre $R$ é um par que consiste em um $R$-módulo $S$ de classificação $n$, e uma forma bilinear simétrica $b : S \times S \to R$.

Proposição 1.1 (Ebeling) As redes integrais em$\mathbb{R}^n$ (retículos onde cada produto escalar é um inteiro) são os módulos de forma bilinear simétricos sobre os inteiros onde $b$ é uma forma bilinear simétrica definida positiva.

O texto menciona que módulos de forma bilinear simétricos sobre $\mathbb{Z}$ sem a propriedade definida positiva são estudados no capítulo 4, e exemplos sobre anéis de inteiros são estudados no capítulo 5. Você pode achá-los interessantes para ler.