Três desesperados

Question

Três desesperados A, B e C jogam roleta russa na qual se revezam puxando o gatilho de um revólver de seis cilindros carregado com uma bala. Cada vez que o pente é girado para selecionar aleatoriamente um novo cilindro para disparar, desde que o tiro mortal não tenha caído. Os desesperados atiram de acordo com a ordem A, B, C, A, B, C, . . .. Determine para cada um dos três desperados a probabilidade de que este desperado seja o único a se matar com um tiro.

Eu tenho que calcular a probabilidade de que A morra em$i$ª tentativa, então B e C nunca morrem. Se em$1$º julgamento ninguém morre nós temos$(\frac{5}{6})^3$. Se em$i$º julgamento ninguém morre devemos ter$(\frac{5}{6})^3+...+(\frac{5}{6})^3=\sum_{k=0}^{\infty}k(\frac{5}{6})^3$, Porque

$\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}[(A\cap B_1)\cup...\cup(A\cap B_k)]=\mathbb{P}(A\cap B_1)+...+\mathbb{P}(A\cap B_k)=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{P}(A\cap B_k)=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{P}(B_k)\mathbb{P}(A|B_k)$

e desde$A\perp B_k\Rightarrow \mathbb{P}(A)=\sum_{k=0}^{+\infty}\mathbb{P}(B_k)\mathbb{P}(A)=(\frac{5}{6})^2\frac{5}{6}+...+(\frac{5}{6})^2\frac{5}{6}=(\frac{5}{6})^3+...+(\frac{5}{6})^3=k(\frac{5}{6})^3$

Onde$A=[$A não morrer$]$. Assim, A deve morrer em$i+1$ª tentativa com probabilidade$\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}k(\frac{5}{6})^3$.

Infelizmente o resultado é$\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{5}{6})^{3k}$. Por quê?

Answer 1

Sua notação está complicando demais o problema. A probabilidade de que a arma atira primeiro no$i$-th puxar o gatilho é$(5/6)^{i- 1}\cdot(1/6)$... ou seja, a probabilidade de que o primeiro$i-1$puxa o gatilho não dispara e, em seguida, o$i$-th um faz.$A$morre se isso acontecer na primeira, quarta, sétima, etc.... puxando o gatilho: se$i=3k+1$para alguns naturais$k$. então$$ P(A)=\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{5}{6}\right)^{3k}=\frac{36}{91}. $$Para completar, uma vez que$B$e$C$exigir$i=3k+2$e$i=3k+3$respectivamente,$$ P(B)=\frac{5}{6}P(A)=\frac{30}{91} $$e$$ P(C)=\frac{25}{36}P(A)=\frac{25}{91}. $$

Answer 2

Você pode resolver este problema sem qualquer soma de séries extravagantes. Você sabe disso:

$$ P(A) = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} P(C)$$

Uma vez em seis,$A$vai perder logo. No outro$\frac{5}{6}$de casos,$A$estará na mesma situação$C$está no início do jogo.

A seguir você tem:

$$P(B) = \frac{5}{6} P(A)$$

Se A não perder no início,$B$vai perder com probabilidade$P(A)$.

Claro que você também tem:

$$P(A) + P(B) + P(C) = 1 \; ,$$

já que alguém tem que perder. Você tem 3 equações e 3 incógnitas.