Um produto interno em $\mathcal{C}[a,b]$

Question

Tenho que provar que o funcional $$\langle f,g\rangle = \int_{a}^{b} \int_{a}^{b} \frac{\sin(\pi(t-s))}{\pi (t-s)} f(s) \overline{g(t)}dsdt$$ é um produto interno em $\mathcal{C}[a,b]$ (funções contínuas complexas).

Já fiz um exercício semelhante onde mostrei que $$\int_{a}^{b} f(t) \overline{g(t)} dt$$é um produto interno. E a maioria das propriedades segue o mesmo motivo. Mas não consigo ver como$$\langle f,f\rangle = \int_{a}^{b} \int_{a}^{b} \frac{\sin(\pi(t-s))}{\pi (t-s)} f(s) \overline{f(t)}dsdt = 0 \iff f \equiv 0.$$ A implicação $f=0 \Longrightarrow \langle f,f\rangle=0$ é claro a partir da definição do funcional, mas desde $\frac{\sin(\pi(t-s))}{\pi (t-s)} = 0$ para $\pi(t-s) = n\pi$Não consigo entender a outra implicação. Mesmo com$\langle f,f\rangle \geq 0.$

Answer 1

Escreva

$$\langle f,f\rangle = \int_{a}^{b} \int_{a}^{b} \int_0^1 \cos(\pi u(t-s))du\, f(s)\overline{f(t)}ds\,dt \\ = \int_0^1 \left(\int_a^b \cos(\pi u s) f(s) ds \int_a^b \cos(\pi u t) \overline{f(t)} ds\right. \\ +\left. \int_a^b \sin(\pi u s) f(s) ds \int_a^b \sin(\pi u t) \overline{f(t)} ds \right)du \\ = \int_0^1 \left(\left|\int_a^b \cos(\pi u s) f(s) ds\right|^2 + \left|\int_a^b \sin(\pi u s) f(s) ds\right|^2 \right)du.$$

Então, $\langle f,f\rangle \ge 0$, e para $f\in C[a,b]$, $\langle f,f\rangle = 0$ sse $$ \int_a^b \cos(\pi u s) f(s) ds= \int_a^b \sin(\pi u s) f(s) ds = 0 $$ para todos $u\in [0,1]$ (observando que ambas as integrais são contínuas em $u$) Em outras palavras, a transformada de Fourier$\hat g$ do $g(x) = f(x) \mathbf{1}_{[a,b]}$ desaparece em $[0,1]$. Desde a$\hat g$ é analítico, ele desaparece em todos os lugares, portanto, $f = 0$ ae donde $f \equiv 0$ devido à continuidade.