Uma aposta com seu amigo
James, seu amigo, o convidou para apostar com ele.
Ele tem um dado justo, com $3$ rostos mostrando $0$ e $3$ rostos mostrando $1$. Você paga a ele$\\\$70 $ . Ele joga o dado $ 15 $ vezes, registra a soma dos números de todos os lances e lhe dará o número registrado em dólares ao quadrado. Qual é o ganho ou perda esperada?
Bônus: pelo menos quantos lances de dados são necessários para ter um ganho esperado?
Problema sozinho. Você tem que encontrar uma identidade para fazer esta pergunta, então isso não deve ser um problema de estilo de livro didático.
Respostas
Suponha que temos $n$dados. Então
você pega $k^2$ com probabilidade ${n\choose k}/2^n$ e sua expectativa (ignorando o $\\\$70 $ taxa para jogar) é $ 2 ^ {- n} \ sum k ^ 2 {n \ escolha k} $ . Temos $ k {n \ escolha k} = n {n-1 \ escolha k-1} $ então isso é igual a $ 2 ^ {- n} n \ soma k {n-1 \ escolha k-1} $ . Escrevendo $ k = (k-1) + 1 $ e usando a mesma identidade com $ n-1, k-1 $ no lugar de $ n, k $ , vemos que isso é igual a $ 2 ^ {- n} n (n- 1) \ sum {n-2 \ escolha k-2} +2 ^ {- n} n \ sum {n-1 \ escolha k-1} = \ frac14n (n-1) + \ frac12n = \ frac14n (n +1) $ .
Quando $ n = 15 $
seus ganhos esperados são de \ $ 60 por jogo, não o suficiente para compensar os \ $ 70 que você paga para jogar. Para isso, você precisa de $ n (n + 1) \ geq280 $, que primeiro acontece em $ n = 17 $ .
Apenas por diversão, aqui está uma forma combinatória inteligente de provar a identidade que usei acima:
precisamos de $ \ sum k ^ 2 {n \ escolha k} = 2 ^ {n-2} n (n + 1) $ . O primeiro termo é o número de maneiras de escolher algum número (digamos $ k $ ) de bolas de um conjunto de $ n $ e, em seguida, escolher um dos $ k $ duas vezes. Em vez de fazer isso, suponha que escolhemos uma bola (do conjunto completo de $ n $ ) duas vezes e, em seguida, escolhemos qualquer subconjunto das outras para preencher nosso conjunto de $ k $ . Existem $ n \ cdot2 ^ {n-1} $ maneiras de fazer isso se pegarmos a mesma bola duas vezes. Existem $ 2 {n \ choose 2} \ cdot2 ^ {n-2} $ maneiras de fazer isso se escolhermos bolas diferentes no início. Adicioná-los dá o resultado necessário.
Talvez haja uma maneira mais inteligente de fazer isso um pouco mais rapidamente.
Como @Gareth McCaughan estava pedindo uma solução mais smarty:
O que somos solicitados a calcular é o segundo momento bruto da distribuição binomial. Isso pode ser escrito como a variância mais o quadrado médio que são todos bem conhecidos:$\sigma^2 + \mu^2 = np(1-p) + (np)^2 = 60$com os parâmetros fornecidos. A perda esperada é$\\\$10 $
Os valores de $ 16,17 $ são $ 68,76,5 $ . Portanto, para esperar uma vitória, precisamos de $ 17 $ moedas.
Esta solução está errada, mas deixo-a aqui porque acho que é um excelente exemplo de como confundir $\rm{E}[x^2]$ e $\rm{E}[x]^2$.
A probabilidade de obter $0$ (ou $1$) é $1/2$, portanto, o processo que você descreveu segue uma distribuição binomial com parâmetro$1/2$. O valor esperado da soma é, portanto,$15*\frac12=7.5$, portanto, seu amigo vai te dar $56.25$ dólares, resultando em uma perda de $13.75$ dólares.
O número mínimo $n$ de lançamentos de dados para ganhar dinheiro é dado pela equação $$ (np)^2>70 $$ que dá $$ n>\sqrt{70}p^{-1} = 16.73 $$(descartamos a solução negativa). Então a resposta final é$$ n=17 $$ Este jogo de dados é equivalente a contar o número de caras ao jogar uma moeda justa.
Parece que as respostas aqui são complicadas demais.
Supondo: 50% das vezes que o dado retorna 1, 50% retorna 0. Qual é o retorno médio em 1 lançamento? 0,5
Qual é o retorno médio em 15 rolos? 0,5 vezes 15 = 7,5 7,5 ao quadrado = 56,25