Uma função complexa é constante se satisfizer uma dessas propriedades

Question

Recebi que uma função complexa $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ é analítico em uma região $\Omega$. Também recebo uma lista de condições e devo mostrar que se$f$ satisfaz qualquer uma dessas condições em $\Omega$, então $f$ é constante em $\Omega$. Estas são as condições com as quais estou tendo problemas:

uma. $f(\Omega) = \{f(z) : z \in \Omega\}$ é um subconjunto de um círculo.

b. $u^n(x,y) = v(x,y)$ para alguns $n \in \mathbb{N}$.

c. $Re(f)$ é analítico em $\Omega$.

Minhas idéias para a parte a: esta propriedade está dizendo que f é limitado pelo subconjunto do círculo? Em caso afirmativo, posso aplicar o Teorema de Liouville e dizer que, uma vez que f é limitado, ele deve ser constante?

Para a parte b., Minha abordagem foi substituir $u^n(x,y)$ em para $v(x,y)$ na função e, em seguida, use as equações de Cauchy Riemann (uma vez que $f(z)$é analítico). Calcular as derivadas parciais me deu$u_x = nu^{n-1}u_y$ e $u_y = -nu^{n-1}u_x$. Não tenho certeza se fiz a diferenciação parcial corretamente, e não tenho certeza para onde ir a partir daqui.

Para a parte c., Eu entendo o que significa para uma função complexa ser analítica, mas o que significa para sua parte real ser analítica? E como isso mostra que$f$ é constante na região $\Omega$?

Answer 1

Seu argumento para (a) seria bom se $f$ foi definido em todos os $\mathbb{C}$. $\Omega$pode ser o disco da unidade aberta, caso em que seu argumento falha. Dica: nenhum subconjunto do círculo unitário pode ser aberto em$\mathbb{C}$.

Para (b), você está no caminho certo. Você tem$u_x = nu^{n-1} u_y$ e $u_y = -nu^{n-1}u_x$ que após a substituição dá $u_x = -n^2 u^{2n-2} u_x$ ou $u_x(1+n^2 u^{2n-2}) = 0$ (e da mesma forma para $y$) Observe que$1+n^2 u^{2n-2}$ é positivo ..

Para (c), se $\operatorname{Re}(f)$fossem (presumivelmente) analíticas complexas, então isso satisfaria as equações de Cauchy-Riemann. Escrita$g(x,y) = \operatorname{Re}(f(x,y))$, o que as equações de Cauchy-Riemann levam você a concluir sobre $g$?

Answer 2

Uma boa maneira de provar esses resultados depende exclusivamente do teorema do mapeamento aberto. Pode-se provar o seguinte resultado mais forte:

Deixei $G$ seja um $\mathcal{C}^{1}(\mathbb{C},\mathbb{R})$ funcionar de forma que $0$ é um valor regular de $G$ (em particular $G^{-1}(0)$não pode conter um conjunto aberto). E se$G(f)=0$ em uma região $\Omega$, $f$ é constante.

O resultado é fácil de provar: vamos $f$ser não constante. Então é um mapeamento aberto, o que contradiz a regularidade do$0$ para $G$ .

Este resultado é suficiente para provar a & b. Para$c$, E se $\text{Re}(f)$ é analítico, deve ser constante pelo teorema do mapeamento aberto, e isso implica $\text{Re}(f(\Omega))=\{c\}$ e novamente pelo teorema do mapeamento aberto obtemos o resultado.