UMA $G_\delta$ e escassa $\mathbb{R}$

Question

Já pensei sobre isso e não tenho certeza se esses conjuntos existem. Quero dizer, obviamente, os conjuntos finitos satisfazem ambas as definições, mas estou procurando um exemplo não trivial.

As definições são: Um conjunto $M \subseteq \mathbb{R}$ é um conjunto pequeno se existe uma sequência $\{F_n\}$ de lugar nenhum denso (ou seja, com interior vazio) com $M = \bigcup F_n$; e um conjunto$X \subseteq \mathbb{R}$ é um $G_\delta$ definir se existe uma sequência $\{A_n\}$ de conjuntos abertos com $M = \bigcap A_n$.

Se alguém tiver uma ideia ou alguma referência, gostaria de receber as informações. Obrigado!

Answer 1

Um exemplo mais interessante é o conjunto de Cantor , é um subconjunto em lugar nenhum denso (portanto, magro) de reais com a mesma cardinalidade de todo$\Bbb R$, e também um $G_\delta$ definido uma vez que cada conjunto fechado é $G_\delta$em um espaço métrico. Ao considerar um conjunto Cantor gordo em vez da construção padrão de terços médios, você pode até obter exemplos com medida positiva.

Observe que, em geral, pelo teorema da categoria de Baire, é muito mais fácil produzir comeager $G_\delta$ conjuntos (portanto, escassos $F_\sigma$ conjuntos)