Uma matriz relacionada à função möbius

Question

Considere a matriz $A_n$ definido para inteiros positivos $n$ definindo o $(i,j)$ª entrada para $1$ E se $j$ divide $i$, e $0$ caso contrário, para $1\leq i,j\leq n$. Por exemplo,$$A_6=\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0\\1&0&1&0&0&0\\1&1&0&1&0&0\\1&0&0&0&1&0\\1&1&1&0&0&1\end{bmatrix}.$$ Esta matriz tem a propriedade interessante de $\det A_n=1$ para todos $n$ (uma vez que é uma matriz triangular inferior), e que seu inverso pode ser descrito explicitamente como tendo $(i,j)$ª entrada igual a $\mu(j/i)$ E se $i\mid j$, e $0$ caso contrário, onde $\mu$é a função möbius . Este fato é facilmente visto como equivalente à inversão de möbius.

P. Esta matriz tem um nome? Esta parece ser uma matriz básica o suficiente para que suas propriedades possam (deveriam?) Ser bem estudadas, mas não sei quais palavras-chave pesquisar para descobrir mais, se é que tem um nome especial.

Answer 1

Esta matriz é a matriz de adjacência do poset$P$ de inteiros entre $1$ e $n$(inclusive) sob divisão, considerado um gráfico direcionado. Ele fica dentro da álgebra de incidência , como Sungjin menciona nos comentários, que você pode considerar como a subálgebra da álgebra da matriz$\text{End}(k[P])$gerado pelas arestas do gráfico direcionado e na terminologia da álgebra de incidência é chamado de função zeta do poset, e seu inverso é chamado de função Mobius do poset. Temos uma generalização da inversão de Mobius que relaciona a multiplicação pela função zeta e a multiplicação pela função Mobius que se especializa na inversão de Mobius comum, bem como inclusão-exclusão e outras coisas divertidas.

(A definição da álgebra de incidência que dei acima é apenas equivalente à definição usual para posets finitos. No caso infinito, há pelo menos duas álgebras diferentes que você poderia escrever, e a usual requer que o poset seja localmente finito. um que escrevi não faz tal requisito, mas tem menos elementos.)

De forma mais geral, você pode definir a álgebra de categoria de uma (pequena) categoria$C$ ser o livre $k$-módulo sobre os morfismos de $C$, com composição dada pela composição em $C$se definido ou zero caso contrário. Esta construção generaliza a álgebra de incidência (pensando em posets como categorias), mas também a construção de álgebras de grupo. (Novamente, no caso finito, e novamente no caso infinito, existem pelo menos duas álgebras diferentes que você pode escrever.) Se$C$ tem finitamente muitos morfismos, você pode novamente considerar uma função zeta dada pela soma de todos os morfismos, e se esse elemento tiver um inverso é chamado de função Mobius de $C$. Veja, por exemplo, as Noções de inversão de Mobius de Tom Leinster .