Uma pergunta baseada no uso do princípio do Módulo Máximo

Question

Esta pergunta foi feita de forma abrangente o que estou fazendo.

Deixei $\Omega$ ser uma região limitada e g $\in C(\bar\Omega) \cap H(\Omega)$. Suponha que | g | é uma constante diferente de zero em$d\Omega$. Se g não for constante em$\Omega $ em seguida, mostre que g tem pelo menos 1 um zero em $\Omega$ .

O princípio do módulo máximo pode ser usado e usando a hipótese | g | é constante deixe c on$d\Omega$. Então, max g$\leq$c. Mas não posso prosseguir com isso.

Nota: Esta pergunta tem uma resposta aqui: Suponha$|f|$ é constante em $\delta D$. Mostra isso$f$ tem pelo menos um zero em $D$.

mas não pude deduzir como o questionador escreveu que 1 / f não será holomoróico usando o princípio do princípio Máximo e o usuário 622 ... foi visto pela última vez há 7 anos. Então, eu não acho que devo perguntar a ele.

Diga como devo abordar esta questão.

Answer 1

Presumir $|g|=c\;\,$em $d\Omega$.

Pelo princípio do módulo máximo, temos $|g(z)|\le c$ para todos $z\in\overline\Omega$.

Desde a $g$ é holomórfico e não constante em $\Omega$, $g(\Omega)$ deve conter um subconjunto aberto não vazio de $\mathbb{C}$.

Segue que $|g|$ não é constante em $\Omega$, portanto, se $b$ é o valor mínimo de $|g|$ em $\overline\Omega$, nós devemos ter $b < c$.

Suponha $b > 0$.

Então $g(z)\ne 0$ para todos $z\in\Omega$.

Portanto, pelo princípio do módulo mínimo, o valor mínimo de $|g|$ em $\overline\Omega$ deve ocorrer em algum $z\in d\Omega$, contrário a $b < c$.

Portanto $b=0$.