Uma pergunta binomial simples, mas complicada [duplicar]

Question

Qual é o número de termos diferentes na expansão de $(x+\frac{1}{x}+x^2+\frac{1}{x^2})^{15}$?

Eu sei como resolver esse tipo de problema.

Primeiro, eu organizaria o termo em uma expressão binomial. A expansão terá$(n+1)$ termos diferentes.

Mas como posso organizá-lo em uma expressão binomial?

Answer 1

Dica:

$$x+\dfrac{1}{x} = t \Rightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2} = t^2 - 2$$

$$\therefore \Big(x+\dfrac{1}{x}+x^2+\dfrac{1}{x^2}\Big)^{15} = (t^2+t-2)^{15} $$

Agora considere o conselho precioso de @lulu: "Qual é o termo de grau mais alto? Qual é o termo mais baixo? Todos os termos intermediários têm coeficientes diferentes de zero?"

Answer 2

É assim que eu procederia com a pergunta:

$(x+\frac{1}{x}+x^2+\frac{1}{x^2})^{15}$ = $(\frac{1+x+x^3+x^4}{x^2})^{15}$ = $(\frac{1}{x^30})(1+x+x^3+x^4)^{15}$ = $(\frac{1}{x^30})$(1 + ....... + x ^ 60)

Essa expressão tem 61 poderes diferentes. Portanto, a resposta deve ser 61. Espero que ajude!