Uma pergunta sobre $SK_1$ de anéis

Question

Deixar $B$ ser um anel comutativo com unidade e $B/nil(B):=B_{red}$, Onde $nil(B)$ é o nilradical de $B$. É$SK_1(B)=SK_1(B_{red}) ?$ Em particular, é verdade quando $B$ é uma álgebra afim sobre um campo algebraicamente fechado?

Answer 1

sim. Um elemento no kernel de$SK_1(B)\rightarrow SK_1(B_{red})$ é representado por uma matriz $M\in GL_n(B)$ para alguns $n$. Escreva$\overline{M}$ para a redução de $M$ mod $nil(B)$. Então$\overline{M}$ é um produto de matrizes elementares, todas as quais sobem para matrizes elementares ao longo $B$. Ajustando$M$ consequentemente, podemos assumir que $\overline{M}$ é a identidade.

Conclui-se que os elementos na diagonal de $M$ são todos $1$ mod $nil(B)$, portanto, todas as unidades em $B$. Isso nos permite usar operações elementares para converter$M$ a uma matriz diagonal, que, portanto (pelo lema de Whitehead) representa o elemento zero de $SK_1(B)$.

(O mesmo argumento funciona se $B_{red}$ é substituído por $B/I$, Onde $I$ é qualquer ideal contido no radical Jacobson.)