Unicidade da representação de Fourier

Question

Comecei a ler sobre a análise de Fourier. Eu estava lendo sobre a singularidade da representação de Fourier. Aparentemente, se a série de Fourier$\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}c_n e^{2\pi i n x}$converge uniformemente para$f(x)$então os valores de$c_n$são forçados a ser o valor$\hat{f}(n)=\int_0^1 f(x)e^{-2 \pi n x}dx$. Isso é declarado como se fosse óbvio, mas não consigo entender o porquê. Não vejo como a convergência uniforme entra em jogo.

Answer 1

A convergência uniforme implica que$$\int_0^1 e^{-2i\pi kx}\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}c_n e^{2\pi i n x}dx=\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}} \int_0^1 e^{-2i\pi kx}c_n e^{2\pi i n x}dx = c_k$$