Urna e eventos dependentes com a mesma probabilidade

Question

Diga que tenho uma urna com $4$ bolas verdes, $5$ bolas vermelhas e $6$bolas amarelas. Agora eu extraio$5$bolas, uma após a outra. Qual é a probabilidade de ter tirado uma bola verde para cada sorteio diferente?

Eu sei que todas as probabilidades são iguais: $\frac{4}{15}$. Estou lutando para mostrar por quê.

Minha tentativa:

Defina o evento $E_k = \{\text{extract a green ball at k-draw\}}$ com $k \in \{1,2,3,4,5\}$.

Claramente $E_1 = \frac{4}{15}$ e $E_2=\frac{4}{15}\cdot\frac{3}{14}+\frac{11}{15}\cdot\frac{4}{14}=\frac{4}{15}$.

Agora posso expressar o evento $E_k$ dizendo que devemos ter menos do que $4$ bolas verdes desenhadas no primeiro $k-1$extrações. Então posso dizer que tenho uma distribuição hipergeométrica para cada valor$p$ de tal modo que $0\leq p \leq \min(3,k-1)$ , então :

$$P(\text{drawing } p \text{ green balls in } k-1 \text{ draws}) = \frac{\binom{4}{p} \binom{15 - 4}{k-p-1}}{\binom{11}{k-1}}$$

Então eu tenho que desenhar uma bola verde em $k$ extração, que acontece com probabilidade $\frac{4-p}{15-k+1}$.

Então, juntando tudo:

$$P(E_K)=\sum_{p=0}^{\min(3,k-1)}\frac{\binom{4}{p} \binom{11}{k-p-1}(4-p)}{\binom{11}{k-1}(16-k)}$$

Mas agora estou travado, não sei como simplificar essa soma.

Meu raciocínio está correto? Existe uma maneira de simplificar a soma? Como pode ser resolvido de outras maneiras melhores?

Answer 1

Tire todas as bolas. Qual é a probabilidade de que$k$a bola era verde? tem$\binom{15}4$ maneiras igualmente prováveis ​​de escolher as posições das bolas verdes, e em $\binom{14}3$ deles bola $k$ é verde.

Nós temos $$\frac{\binom{14}3}{\binom{15}4}=\frac4{15}$$

EDITAR

Em resposta ao comentário do OP.

Na verdade, minha solução inicial foi mais ou menos assim: " $k$a bola tem a mesma probabilidade de ser qualquer um dos $15$ bolas, então a pergunta é: 'Qual é a probabilidade de uma bola selecionada aleatoriamente ser verde', e a resposta é claramente $\frac4{15}$. "Ou seja, escolher o $k$A bola é apenas um mecanismo para pegar uma bola de maneira uniforme e aleatória.

No entanto, a partir de sua pergunta, achei que você queria algo mais computacional e pensei algo sobre as seguintes linhas. Primeiro, só nos importamos com as bolas verdes, então concentre-se nelas. Em segundo lugar, uma vez que a resposta deve ser a mesma para qualquer$k$, procure uma solução que realmente não dependa de $k$. Francamente, depois de ler sua pergunta, comecei por um momento nas mesmas linhas, mas então pensei: "Isso não é simétrico o suficiente." Assim que pensei isso, imediatamente vi o argumento acima.