$uu^* \leq vv^* \implies \exists w : u = vw$

Question

Considere o seguinte fragmento do livro de Murphy "$C^*$-álgebras e teoria do operador ":

Como podemos estender $w_0$ para um mapa $w_1: H \to H$? Acho que primeiro estendemos$w_0$ para o fechamento $\overline{v^*(H)}$ e então defini-lo para ser $0$em seu complemento ortogonal. Isso funciona?

Além disso, por que temos $u = vw_1$? Isso depende de uma extensão explícita de$w_0$ ou é verdade para todas as extensões limitadas de $w_0$?

Answer 1

Sim, você sempre pode fazer isso. Se você nunca fez isso, precisa mostrar que qualquer operador linear limitado pode ser estendido por continuidade até o fechamento de seu domínio. E se você decompor$H=H_1\oplus H_1^\perp$ e $S,T$ são operadores limitados em $H_1$ e $H_1^\perp$ respectivamente, então $S\oplus T$ definido por $(S\oplus T)(x\oplus y)=Sx\oplus Ty$ é um operador limitado com $\|S\oplus T\|\leq\|S\|+\|T\|$.