Valor limite da cadeia de Markov

Question

Suponha que eu tenha a seguinte cadeia de Markov. $X_0 > 0$ é uma constante fixa e para cada $1 \leq n \in \mathbb{N}$ temos $$X_n = \begin{cases} 1.5X_{n-1} & \text{with probability } 0.5 \\ rX_{n-1} & \text{with probability } 0.5 \end{cases} $$

Quero encontrar o valor mínimo de $r$ de modo que o valor limite do $X_n$ é maior que ou igual a $X_0$, o valor original. Achei que fazer disso um martingale seria suficiente (ou seja, definir$r = 0.5$), mas quando executo uma simulação, o valor limite é zero sempre, então, obviamente, isso está errado.

Estou procurando um valor $r$ de modo que o limite é exatamente $X_0$já que (estou supondo que) qualquer coisa maior levará quase com certeza a um limite infinito. No entanto, este problema não faz sentido para mim. Por favor, ajude se você puder.

Answer 1

Na verdade, podemos dizer muito sobre o modelo generalizado $$X_n=rX_{n-1}:\text{probability }=p$$ $$X_n=\frac{3}{2}X_{n-1}:\text{probability }=1-p$$Deixei $K_{n}\sim\ \text{Binomial}(n,p)$ e colocar $X_{n}:=r^{K_n}\Big(\frac{3}{2}\Big)^{n-K_n}x_{0}$. Intuitivamente, podemos pensar em$K_n$ contando o número de vezes que multiplicamos um termo sucessivo por $r$neste processo aleatório. O caso quando$r>1$ é óbvio, então vamos supor que $r\in (0,1]$. Quando$n$ é grande, podemos usar a aproximação normal para a distribuição binomial e deduzir para $a>0$ este $$P(X_n > a)=P\Bigg(K_n < \frac{\ln(a/x_0)+n\ln(2/3)}{\ln(2r/3)}\Bigg)\approx \phi\Bigg(\frac{\ln(a/x_0)}{\sqrt{np(1-p)}\ln(2r/3)}+\sqrt{n}\cdot \frac{\ln(2/3)-p\ln(2r/3)}{\sqrt{p(1-p)}\ln(2r/3)}\Bigg)$$ Onde $\phi(x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}dt$. Nós vemos$$\lim_{n\rightarrow \infty}P(X_n>a)=1 \iff \frac{\ln(2/3)-p\ln(2r/3)}{\sqrt{p(1-p)}\ln(2r/3)}>0 \iff r>\Big(\frac{2}{3}\Big)^{\frac{1-p}{p}} $$ $$\lim_{n\rightarrow \infty}P(X_n<a)=1 \iff \frac{\ln(2/3)-p\ln(2r/3)}{\sqrt{p(1-p)}\ln(2r/3)}<0 \iff r<\Big(\frac{2}{3}\Big)^{\frac{1-p}{p}}$$ Claramente $r=\Big(\frac{2}{3}\Big)^{\frac{1-p}{p}}$é o nosso limite, ilustrado neste gráfico . Levando$p=1/2$ rendimentos $r=2/3$ como requerido.

Answer 2

A moral da história parece ser que seu processo não converge. A explicação segue.

Consideramos o processo como você escreveu, com $r = 2/3$.

Deixei $P_i$ ser uma variável aleatória que é $2/3$ com probabilidade $1/2$, e $3/2$ com probabilidade $1/2$. Estamos interessados ​​na variável aleatória$Z_n = \prod_{i = 1}^n P_i$e queremos descobrir como podemos obter $Z_n \to 1$ (em certo sentido), uma vez que $X_n = Z_n X_0$ em sua notação.

Considerar $\log(Z_n) = \sum_{i = 1}^n \log(P_i)$. Então cada$\log(P_i) = \pm ( \log(3) - \log(2))$. Então, após reescalonar dividindo por$\log(3) - \log(2)$, podemos analisar o seguinte processo:

$Y_i = \pm 1$, com probabilidade $1/2$ cada um, e queremos entender $S_n = \sum_{i = 0}^n Y_i$.

Bem, $S_n$ é um passeio aleatório clássico, não converge nem mesmo na distribuição, a menos que você o redimensione.

Então se $X_n$ convergiu em probabilidade ou quase com certeza, então $S_n = \frac{1}{\log(3) - \log(2)} \log( X_n)$também, porque a função que estamos aplicando é contínua e, portanto, este teorema se aplica. Em qualquer caso, por causa da recorrência infinita do passeio aleatório simples em$\mathbb{Z}$, $X_n$ assumirá todos os valores possíveis infinitamente muitas vezes.

Este ponto de vista também explica porque $2/3$ é o fator de equilíbrio - qualquer outro fator e você derivará para o infinito ou para o infinito negativo no lado do passeio aleatório simples.