Valores próprios e espaço nulo

Question

Eu gostaria de entender melhor as relações entre o espaço nulo e os autovalores de uma matriz.

Em primeiro lugar, sabemos que um $n \times n$ matriz terá $n$ autovalores, embora os autovalores possam ser complexos e repetidos.

Em seguida, sabemos que se $A$ tem o autovalor 0, então o autovetor correspondente está no espaço nulo $N(A)$, Desde a $A\textbf{x}=0\textbf{x}=\textbf{0}$. Isso implica que todos os vetores próprios que correspondem ao valor próprio 0 se estendem exatamente$N(A)$.

Usando as duas conclusões mencionadas acima, e suponha que temos um $n \times n$ matriz com classificação $r$, agora sabemos que a dimensão do espaço nulo é $n-r$. A partir disso, podemos concluir que haverá pelo menos $n-r$autovalores iguais a 0? e exato $n-r$ autovetores independentes para abranger o espaço nulo?

Answer 1

E se $A$ tem classificação completa, então a dimensão do espaço nulo é exatamente $0$.

Agora se $A_{n×n}$ tem classificação $r\lt n $, então a dimensão do espaço nulo $=(n-r)$. este$(n-r)$será a multiplicidade geométrica do autovalor$0$.

Mas sabemos que, multiplicidade algébrica $\ge$ multiplicidade geométrica .

Então, multiplicidade algébrica de autovalor $0$ deve ser pelo menos $(n-r)$. Isso significa que haverá pelo menos$(n-r)$ números de $0$'s, como os valores próprios de $A$.

E, uma vez que a multiplicidade geométrica de um autovalor $=$ o número de autovetores linearmente independentes correspondentes a esse autovalor, podemos concluir que há exatamente $(n-r)$ números de autovetores linearmente independentes correspondentes ao autovalor $0$.

Answer 2

Dada uma matriz $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$:

• Um vetor $x$ é um autovetor de $A$ E se $Ax = \lambda x$ Onde $\lambda$ é o autovalor.

• O kernel (espaço nulo) de $A$ é o conjunto $\{v | Av=0\}$, ou seja, todos $v$ que tem um autovalor $0$.

• O eigenspace, $E_{\lambda}$, é o espaço nulo de $A-\lambda I$, ou seja, $\{v | (A-\lambda I)v = 0\}$. Observe que o espaço nulo é apenas$E_{0}$.

• A multiplicidade geométrica de um autovalor $\lambda$ é a dimensão de $E_{\lambda}$, (também o número de autovetores independentes com autovalor $\lambda$ aquele período $E_{\lambda}$)

• A multiplicidade algébrica de um autovalor $\lambda$ é o número de vezes $\lambda$ aparece como uma raiz para $det(A-x I)$.

• multiplicidade algébrica $\geq $ multiplicidade geométrica.

Considere o seguinte exemplo, $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.

Então $n = 2$ e a classificação de $rank(A) = 1$. o$det(A-x I) = x^{2}$ e as raízes são $x = \{0,0\}$. Vemos que o autovalor$0$ tem multiplicidade algébrica $2$. Mas, a multiplicidade geométrica é a dimensão de$E_{0} = span\left(\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}\right)$ qual é $1$. Portanto, a partir deste exemplo, vemos que$n-r = 1$, que é igual à multiplicidade geométrica de $\lambda = 0$.

Portanto, concluímos que $\lambda = 0$ terá uma multiplicidade algébrica de pelo menos $n−r$ e uma multiplicidade geométrica de $n−r$. Isso é óbvio pela definição de classificação e multiplicidade geométrica.