Várias soluções para um ODE

Question

Quero encontrar a solução para o IVP: $$y' = 2\cos(x)\sqrt{y-1},\;\; y\geq1 $$ com condição inicial $y(0)=2$.

Usei a separação de variáveis ​​para obter a solução geral $$y =\left(\sin(x)+C\right)^2 +1.$$

Quando uso a condição inicial para tentar encontrar uma solução específica, entendo que $C = \pm 1$.

Ambos os valores de $C$ trabalhar quando substituída de volta na equação diferencial original.

Mas como a ODE é contínua para todos $y\geq 1$ e a $y$ derivada parcial é contínua para todos $y>1$, O teorema de Picard diz que deve haver uma solução única para a condição inicial $y(0)=2$.

Existe alguma maneira de testar as duas soluções para ver qual é inválida?

Answer 1

As duas soluções \begin{align}y_1(x)&=(\sin x-1)^2+1\\y_2(x)&=(\sin x+1)^2+1\end{align}representam a mesma função, mas deslocada. Isso é,$\sin(x+\pi)-1=-(\sin x+1)$ assim $y_1$ é $y_2$ mudado por $\pi$.

Answer 2

Você também precisa garantir que, de acordo com a equação dada, $y'(0)=2\cos(0)\sqrt{2-1}=2$, ou seja, a inclinação deve ser positiva. Mas$$ y_1'(x)=2\cos x(\sin x-1)\implies y_1'(0)=-2. $$

Answer 3

A solução $y=(\sin x+C)^2+1$ é apenas uma solução para sua equação diferencial para $C> 0$. No processo de resolver a equação, você acaba com algo como:$$\sqrt{y-1}=\sin x+C$$ Uma vez que esta é a raiz quadrada positiva, precisamos $\sin x+C\ge 0$ em todos os pontos onde $y$é definido; se nós quisermos$y$ a ser definido em uma vizinhança ao redor $0$ então nós precisamos $C>0$. (Para$C\ge 1$ a solução será válida para todos $x$.)

Observe que a função $y=(\sin x+C)^2+1$ é sempre uma solução para a equação diferencial $$(y')^2=4\cos^2x\,(y-1)$$para todos $C$, positivos e negativos. Você mostrou que este último DE com condição inicial$y(0)=2$ na verdade, não tem uma solução única.