Verificação da base e amplitude de uma função

Question

Eu queria saber se alguém poderia verificar meu trabalho e raciocinar para a seguinte pergunta.

Definir funções $f_1,f_2,f_3 \in F$ de $$f_1(x)=\frac{1}{x^2+1},f_2(x)=\frac{1}{x^2+2},f_3(x)=\frac{1}{x^2+3}$$ a) Mostre que a função $g \in F$ definido por: $$f_1(x)=\frac{1}{(x^2+1)(x^2+2)(x^2+3)}$$ está no espaço $W=\text{Span}\{f_1,f_2,f_3\}$ e expresso $g$ como uma combinação linear de $f_1,f_2,f_3$.

Esta é essencialmente uma decomposição de fração parcial, embora eu também pudesse usar combinações lineares para fazer isso. De qualquer forma, recebo:

$$g(x)=\frac{1}{2(x^2+1)}-\frac{1}{x^2+2}+\frac{1}{2(x^2+3)}$$

Então eu mostrei que $g(x)$ é uma combinação linear de $f_1(x)$,$f_2(x)$ e $f_3(x)$.

Isso pode parecer uma pergunta boba, mas isso mostra que $g(x)$ está no intervalo de $f_1,f_2,f_3$? Eu sinto que realmente não mostrei isso ou estou entendendo mal a definição de amplitude. Para mim, span é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis e não tenho certeza se o que fiz prova que$g$ está no intervalo de $f_1,f_2,f_3$.

b) Mostre que $B=\{f_1,f_2,f_3\}$ é um conjunto linearmente independente.

Isso é trivial. Eu sei que é. Se eu definir meus coeficientes, reunir termos semelhantes e resolver o sistema de equações todos iguais a$0$, todos os coeficientes são $0$.

c) O conjunto $B$ é uma base para $W$. Escreva$[g]_B$.

Não é só: $[g]_B = \frac{1}{2}[f_1]_B - [f_2]_B +\frac{1}{2}[f_3]_B$? Isso parece muito trivial.

Se alguém pudesse verificar meu trabalho e verificar isso, seria ótimo!

Answer 1

a) OK.

b) Eu acho que você deveria pelo menos elaborar de quais coeficientes você está falando, o mesmo para o seu sistema de equações e porque esses coeficientes são iguais a zero.

c) Você deve afirmar que$W=\text{Span}\{f_1,f_2,f_3\}$, $\dim W$ é no máximo igual a $3$. Agora como$\{f_1,f_2,f_3\}$ é um conjunto linearmente independente de vetores que também abrange $W$, é uma base de $W$. E como todas as bases têm o mesmo cardeal,$\dim W=3$. Eu sei que isso é um pouco prolixo, mas como você parece estar fazendo um curso de álgebra linear, é melhor mencionar exatamente o que está aprendendo! .