Versão biharmônica de Poisson Integral

Question

fundo

O Integral de Poisson

$$ \tilde h(r e^{i \theta}) = \frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^\pi h(e^{i \phi}) P_r(\theta - \phi) d\phi$$

leva uma função de valor complexo contínua arbitrária $h(e^{i \theta})$ definido no círculo unitário e o estende a uma função $\tilde h(z)$ definido dentro do disco da unidade de modo que $\tilde h(z)$ é harmônico ($\Delta \tilde h(z) = 0$) e tem valores limite $h(z)$ no círculo unitário.

$P_r(\theta)$ é o chamado Poisson Kernel e, entre outras representações,

$$P_r(\theta) = \Re \left( \frac{1 + r e^{i \theta}} {1 - r e^{i \theta}} \right) , \ \ \ \ r e^{i \theta} \in \mathbb{D}.$$

Questão

Existe uma função de kernel diferente que eu poderia usar que faria $\tilde h(z)$biharmônico em vez de apenas harmônico dentro do disco da unidade? Ou seja, gostaria de encontrar algo para substituir$P_r(\theta)$ com isso $\Delta^2 \tilde h(z) = 0$.

Answer 1

Depois de uma dica de Conrad, eu consegui encontrar um artigo diferente ( valores limite tangenciais de uma integral de poisson biharmônica em um disco ) que dá o "Kernel de Poisson biharmônico"$\tilde P$ em termos do kernel Poisson regular:

$$ \tilde P_r(\theta) = \frac{1 - r^2}{2} (P_r(\theta) + P_r^2(\theta)) $$